ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принципът на размерното квантуване Целият комплекс от явления, обикновено разбирани под думите „електронни свойства на нискоразмерни електронни системи“, се основава на фундаментален физически факт: промяна в енергийния спектър на електроните и дупки в конструкции с много малки размери. Нека демонстрираме основната идея за квантуване на размера, използвайки примера на електрони, разположени в много тънък метален или полупроводников филм с дебелина a.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принцип на размерното квантуване Електроните във филма са разположени в потенциална яма с дълбочина, равна на работата на изхода. Дълбочината на потенциалната яма може да се счита за безкрайно голяма, тъй като работната функция надвишава топлинната енергия на носителите с няколко порядъка. Типичните стойности на работната функция в повечето твърди вещества са W = 4 -5 Oe. B, няколко порядъка по-висока от характерната топлинна енергия на носители, имащи порядък k. T, равна при стайна температура на 0,026 e. Б. Според законите на квантовата механика, енергията на електроните в такъв кладенец е квантована, т.е. може да приема само някои дискретни стойности En, където n може да приема цели стойности 1, 2, 3, … . Тези дискретни енергийни стойности се наричат ​​нива на квантуване на размера.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принципът на размерното квантуване За свободна частица с ефективна маса m*, чието движение в кристал по посока на оста z е ограничено от непроницаеми бариери (т.е. бариери с безкраен потенциал енергия), енергията на основното състояние се увеличава в сравнение със състоянието без ограничение с количеството. Това увеличение на енергията се нарича енергия на квантуване на размера на частицата. Енергията на квантуване е следствие от принципа на неопределеността в квантовата механика. Ако една частица е ограничена в пространството по оста z в рамките на разстояние a, несигурността на z компонента на нейния импулс се увеличава с количество от порядъка на ħ/a. Съответно, кинетичната енергия на частицата се увеличава с количеството E 1. Следователно, разглежданият ефект често се нарича ефект на квантовия размер.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принцип на размерното квантуване Изводът за квантуване на енергията на електронното движение се отнася само за движение през потенциалната яма (по оста z). Потенциалът на ямката не влияе на движението в равнината xy (успоредно на границите на филма). В тази равнина носителите се движат като свободни носители и се характеризират, както в масивна проба, с непрекъснат енергиен спектър, квадратичен по импулс с ефективна маса. Общата енергия на носителите във филм с квантов размер има смесен дискретен непрекъснат спектър

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принципът на квантуване на размера В допълнение към увеличаването на минималната енергия на частицата, ефектът на квантовия размер води и до квантуване на енергиите на нейните възбудени състояния. Енергиен спектър на филм с квантови размери - импулс на носителите на заряд в равнината на филма

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКА РАЗМЕРНОСТ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принцип на квантуване по размер Нека електроните в системата имат енергия по-малка от E 2 и следователно принадлежат към по-ниското ниво на квантуване по размер. Тогава никакъв еластичен процес (например разсейване върху примеси или акустични фонони), както и разсейването на електрони един върху друг, не може да промени квантовото число n, прехвърляйки електрона на по-високо ниво, тъй като това би изисквало допълнителна енергия. Това означава, че електроните по време на еластично разсейване могат да променят своя импулс само в равнината на филма, т.е. те се държат като чисто двуизмерни частици. Следователно структури с квантови размери, в които е запълнено само едно квантово ниво, често се наричат ​​двумерни електронни структури.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принципът на размерното квантуване Има и други възможни квантови структури, при които движението на носителите е ограничено не в една, а в две посоки, както в микроскопична жица или нишка (квантови нишки или проводници). В този случай носачите могат да се движат свободно само в една посока, по нишката (да я наречем оста x). В напречното сечение (равнина yz) енергията се квантува и приема дискретни стойности Emn (като всяко двумерно движение, то се описва от две квантови числа, m и n). Пълният спектър също е дискретно непрекъснат, но само с една непрекъсната степен на свобода:

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принцип на размерно квантуване Възможно е също да се създават квантови структури, наподобяващи изкуствени атоми, където движението на носителите е ограничено и в трите посоки (квантови точки). В квантовите точки енергийният спектър вече не съдържа непрекъснат компонент, тоест не се състои от поддиапазони, а е чисто дискретен. Както в атома, той се описва от три дискретни квантови числа (без да се брои въртенето) и може да се запише като E = Elmn и, както в атома, енергийните нива могат да бъдат изродени и да зависят само от едно или две числа. Обща характеристика на нискоразмерните структури е фактът, че ако, поне в една посока, движението на носителите е ограничено до много малка област, сравнима по размер с дължината на вълната на де Бройл на носителите, техният енергиен спектър се променя забележимо и става частично или напълно дискретни.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Дефиниции Квантовите точки са структури, чиито размери и в трите посоки са няколко междуатомни разстояния (нулево-измерни структури). Квантови проводници (нишки) - квантови проводници - структури, чиито размери в две посоки са равни на няколко междуатомни разстояния, а в третата - макроскопична стойност (едномерни структури). Квантовите ямки са структури, чийто размер в една посока е няколко междуатомни разстояния (двумерни структури).

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКА РАЗМЕРНОСТ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Минимални и максимални размери Долната граница на квантуване на размера се определя от критичния размер Dmin, при който съществува поне едно електронно ниво в квантово-измерната структура. Dmin зависи от пропускащата зона на проводимост DEc в съответния хетеропреход, използван за получаване на структури с квантови ямки. В квантовата яма съществува поне едно електронно ниво, ако DEc превишава h – константата на Планк, me* е ефективната маса на електрона, DE 1 QW е първото ниво в правоъгълна квантова яма с безкрайни стени.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ С НИСКИ РАЗМЕРИ Минимални и максимални размери Ако разстоянието между енергийните нива стане сравнимо с топлинната енергия k. BT, тогава населението на високи нива се увеличава. За квантова точка условието, при което популацията от по-високо разположени нива може да бъде пренебрегната, се записва като E 1 QD, E 2 QD - енергиите съответно на първо и второ ниво на квантуване по размер. Това означава, че ползите от квантуването на размера могат да бъдат напълно реализирани, ако Това условие задава горни граници за квантуване на размера. За Га. Ас-Алкс. Ga 1 -x. Тъй като тази стойност е 12 nm.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ С НИСКО РАЗМЕРЕНИЕ Разпределение на квантовите състояния в структури с ниско измерение Важна характеристика на всяка електронна система, заедно с нейния енергиен спектър, е плътността на състоянията g(E) (броят на състоянията на единица енергиен интервал E ). За триизмерните кристали плътността на състоянията се определя с помощта на циклични гранични условия на Борн-Карман, от които следва, че компонентите на електронния вълнов вектор не се променят непрекъснато, а приемат редица дискретни стойности, тук ni = 0 , ± 1, ± 2, ± 3, и са размерите кристал (във формата на куб със страна L). Обемът на k-пространството за квантово състояние е равен на (2)3/V, където V = L 3 е обемът на кристала.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО-ИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури По този начин броят на електронните състояния на обемен елемент dk = dkxdkydkz, изчислен на единица обем, ще бъде равен на тук, факторът 2 взема предвид две възможни ориентации на въртене. Броят на състоянията на единица обем в реципрочното пространство, т.е., плътността на състоянията) не зависи от вълновия вектор.С други думи, в реципрочното пространство разрешените състояния са разпределени с постоянна плътност.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури В общия случай е практически невъзможно да се изчисли функцията на плътността на състоянията по отношение на енергията, тъй като изоенергийните повърхности могат да имат доста сложна форма. В най-простия случай на закон за изотропна параболична дисперсия, валиден за ръбовете на енергийните ленти, може да се намери броят на квантовите състояния на обем на сферичен слой, затворен между две близки изоенергийни повърхности, съответстващи на енергиите E и E+d. д.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Обем на сферичен слой в k-пространството. dk – дебелина на слоя. Този обем ще представлява d. N състояния Като вземем предвид връзката между E и k според параболичния закон, получаваме Следователно плътността на състоянията в енергията ще бъде равна на m* - ефективната маса на електрона

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО-ИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в структури с намалена размерност Така, в триизмерни кристали с параболичен енергиен спектър, с увеличаване на енергията, плътността на разрешените енергийни нива (плътността на състоянията) ще се увеличи пропорционално на плътността на нивата в зоната на проводимост и във валентната зона. Площта на защрихованите области е пропорционална на броя на нивата в енергийния интервал d. д

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Нека изчислим плътността на състоянията за двумерна система. Общата енергия на носителя за изотропен параболичен закон на дисперсия във филм с квантов размер, както е показано по-горе, има смесен дискретно непрекъснат спектър.В двумерна система състоянията на електрон на проводимост се определят от три числа (n, kx , ky). Енергийният спектър е разделен на отделни двумерни En подзони, съответстващи на фиксирани стойности на n.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Кривите на постоянната енергия са окръжности в реципрочното пространство. Всяко дискретно квантово число n съответства на абсолютната стойност на z-компонентата на вълновия вектор. Следователно обемът в реципрочното пространство, ограничен от затворена повърхност с дадена енергия E в случай на двумерна система, се разделя на a брой секции.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Нека определим зависимостта на плътността на състоянията от енергията за двумерна система. За да направим това, за дадено n намираме площта S на пръстена, ограничен от две изоенергийни повърхности, съответстващи на енергиите E и E+d. E: Тук е големината на двумерния вълнов вектор, съответстващ на дадените n и E; dkr – ширина на пръстена. Тъй като едно състояние в равнината (kxky) съответства на областта, където L 2 е площта на двуизмерен филм с дебелина a, броят на електронните състояния в пръстена, изчислен за единица обем на кристала, ще бъде равно на, като се вземе предвид спинът на електрона

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКА РАЗМЕРНОСТ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Тъй като тук е енергията, съответстваща на дъното на n-та поддиапазон. По този начин, плътността на състоянията в двуизмерен филм, където Q(Y) е единичната функция на Хевисайд, Q(Y) =1 за Y≥ 0 и Q(Y) =0 за Y

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътността на състоянията в двуизмерен филм може също да бъде представена като цяло число, равно на броя на подлентите, чието дъно е под енергията E. Така , за двуизмерни филми с параболичен закон на дисперсия, плътността на състоянията във всяка подзона е постоянна и не зависи от енергията. Всеки поддиапазон има равен принос към общата плътност на състоянията. При фиксирана дебелина на филма, плътността на състоянията се променя рязко, когато не се променя с единица.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Зависимост на плътността на състоянията на двумерен филм от енергия (а) и дебелина а (б).

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО-ИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури В случай на произволен закон на дисперсия или друг тип потенциална яма, зависимостта на плътността на състоянието от енергията и дебелината на филма може да се различава от тези, дадени по-горе, но основната характеристика - немонотонното поведение - ще остане.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Нека изчислим плътността на състоянията за едномерна структура - квантова нишка. Законът за изотропна параболична дисперсия в този случай може да се запише във формата x е насочен по квантовата нишка, d е дебелината на квантовата нишка по осите y и z, kx е едномерният вълнов вектор. m, n са положителни цели числа, характеризиращи където оста на квантовите поддиапазони. Така енергийният спектър на квантовата нишка е разделен на отделни припокриващи се едномерни поддиапазони (параболи). Движението на електроните по оста x се оказва свободно (но с ефективна маса), а движението по другите две оси е ограничено.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО-ИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Електронен енергиен спектър за квантова нишка

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова нишка спрямо енергията Брой квантови състояния на интервал dkx, изчислен на единица обем, където е енергията, съответстваща на дъното на подлентата с дадени n и m.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова нишка като функция на енергията Така Следователно Следователно При извеждането на тази формула спиновата дегенерация на състоянията и фактът, че един интервал d е взети предвид. E съответства на два интервала ±dkx от всяка подлента, за която (E-En, m) > 0. Енергията E се измерва от дъното на проводящата лента на масивната проба.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантовата нишка от енергията Зависимост на плътността на състоянията на квантовата нишка от енергията. Числата до кривите показват квантовите числа n и m. Коефициентите на израждане на нивата на поддиапазона са посочени в скоби.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ С НИСКА РАЗМЕРНОСТ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова нишка като функция на енергията В рамките на определен поддиапазон, плътността на състоянията намалява с увеличаване на енергията. Общата плътност на състоянията е суперпозиция на идентични намаляващи функции (съответстващи на отделни поддиапазони), изместени по енергийната ос. При E = E m, n, плътността на състоянията е равна на безкрайност. Поддиапазони с квантови числа n m се оказват двойно изродени (само за Ly = Lz d).

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова точка като функция на енергията С триизмерно ограничение на движението на частиците стигаме до проблема за намиране на разрешени състояния в квант точка или система с нулево измерение. Използвайки приближението на ефективната маса и закона за параболичната дисперсия, за ръба на изотропната енергийна лента спектърът на разрешените състояния на квантова точка с еднакви размери d по трите координатни оси ще има формата n, m, l = 1 , 2, 3 ... - положителни числа, номериращи поддиапазоните. Енергийният спектър на квантовата точка е набор от дискретни разрешени състояния, съответстващи на фиксирани n, m, l.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова точка като функция на енергията Брой състояния в поддиапазони, съответстващи на един набор n, m, l, изчислени за единица обем, Общо брой състояния с еднаква енергия, изчислени за единица обем Израждането на нивата се определя основно от симетрията на проблема. g – коефициент на израждане на ниво

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова точка като функция на енергията Израждането на нивата се определя основно от симетрията на проблема. Например, за разглеждания случай на квантова точка с еднакви размери във всичките три измерения, нивата ще бъдат три пъти изродени, ако две квантови числа са равни едно на друго и не са равни на третото, и шест пъти изродени, ако всички квантови числа числата не са равни едно на друго. Специфичен тип потенциал може също да доведе до допълнителна, така наречена случайна дегенерация. Например, за разглежданата квантова точка, до трикратно израждане на нивата E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), свързано със симетрията на проблема, се добавя случайно израждане E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 както в първия, така и във втория случай), свързано с формата ограничаващ потенциал (безкрайна правоъгълна потенциална яма).

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова точка като функция на енергията Разпределение на броя на разрешените състояния N в зоната на проводимост за квантова точка с еднакви размери във всички три измерения. Числата представляват квантови числа; Факторите на израждане на ниво са посочени в скоби.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Триизмерни електронни системи Свойствата на равновесните електрони в полупроводниците зависят от функцията на разпределение на Ферми, която определя вероятността един електрон да бъде в квантово състояние с енергия E EF - ниво на Ферми или електрохимичен потенциал, T - абсолютна температура, k - константа на Болцман. Изчисляването на различни статистически величини е значително опростено, ако нивото на Ферми се намира в енергийната празнина и е значително отдалечено от дъното на зоната на проводимост Ec (Ec – EF) > k. T. Тогава в разпределението на Ферми-Дирак единицата в знаменателя може да бъде пренебрегната и тя преминава към разпределението на Максуел-Болцман на класическата статистика. Това е случаят на неизроден полупроводник

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Триизмерни електронни системи Функция на разпределение на плътността на състоянията в зоната на проводимост g(E), функция на Ферми-Дирак за три температури и функция на Максуел-Болцман за триизмерна електронен газ. При T = 0 функцията на Ферми-Дирак има формата на прекъсната функция. За E EF функцията е нула и съответните квантови състояния са напълно свободни. При T > 0 функцията на Ферми. Дирак се размазва в близост до енергията на Ферми, където тя бързо се променя от 1 на 0 и това размазване е пропорционално на k. T, т.е. колкото по-висока е температурата, толкова по-висока е. (Фиг. 1. 4. Гуртов)

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Триизмерни електронни системи Концентрацията на електрони в зоната на проводимост се намира чрез сумиране на всички състояния. Имайте предвид, че като горна граница в този интеграл ще трябва да вземем енергия на горния ръб на проводящата лента. Но тъй като функцията на Ферми-Дирак за енергии E>EF намалява експоненциално бързо с увеличаване на енергията, замяната на горната граница с безкрайност не променя стойността на интеграла. Замествайки стойностите на функциите в интеграла, получаваме -ефективна плътност на състоянията в зоната на проводимост

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Двумерни електронни системи Нека определим концентрацията на носители на заряд в двумерен електронен газ. Тъй като плътността на състоянията на двуизмерен електронен газ получаваме Тук горната граница на интегриране също се приема равна на безкрайност, като се вземе предвид рязката зависимост на функцията на разпределение на Ферми-Дирак от енергията. Интегриране къде

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Двуизмерни електронни системи За неизроден електронен газ, когато В случай на ултратънки филми, когато може да се вземе предвид запълването само на долната подлента За силно израждане на електронния газ, когато където n 0 е цяла част

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Трябва да се отбележи, че в системите с квантови размери, поради по-ниската плътност на състоянията, състоянието на пълно израждане не изисква изключително високи концентрации или ниски температури и е доста често се реализира в експерименти. Например в n-Ga. Тъй като при N 2 D = 1012 cm-2, дегенерацията ще настъпи вече при стайна температура. В квантовите нишки интегралът за изчислението, за разлика от двумерните и тримерните случаи, не се изчислява аналитично при произволно израждане и прости формули могат да бъдат написани само в ограничаващи случаи. В неизроден едномерен електронен газ в случай на ултратънки нишки, когато е възможно да се вземе предвид запълването само на най-ниското ниво с енергия E 11 концентрация на електрони, където е едномерната ефективна плътност на състоянията

Квантова система

За да се обяснят много свойства на микрочастиците (фотони, електрони и др.), са необходими специални закони и подходи на квантовата механика. Квантовите свойства на микросвета се проявяват чрез свойствата на макросистемите. Микрообектите съставляват определена физическа система, която се нарича квантова. Примери за квантови системи включват: фотонен газ, електрони в метали. Съгласно условията квантова система, квантова частица човек трябва да разбира материален обект, който е описан с помощта на специалния апарат на квантовата механика.

Квантовата механика изследва свойствата и явленията в света на микрочастиците, които класическата механика не може да интерпретира. Такива характеристики например бяха: двойствеността на вълната и частицата, дискретността и съществуването на спинове. Методите на класическата механика не могат да опишат поведението на частиците от микросвета. Едновременните вълнови и корпускулярни свойства на микрочастицата не позволяват да се определи състоянието на частицата от класическа гледна точка.

Този факт е отразен в зависимостта на несигурността на Хайзенберг ($1925):

където $\triangle x$ е грешката при определяне на координатата, $\triangle p$ е грешката при определяне на импулса на микрочастицата. Тази връзка може да се запише като:

където $\triangle E$ е несигурността в енергийната стойност, $\triangle t$ е несигурността във времето. Съотношения (1) и (2) показват, че ако една от величините в тези зависимости е определена с висока точност, то другият параметър има голяма грешка при определяне. В тези отношения $\hbar =1,05\cdot (10)^(-34)J\cdot s$. По този начин състоянието на микрочастицата в квантовата механика не може да бъде описано, като се използват едновременно координати и импулс, което е възможно в класическата механика. Подобна ситуация се отнася за енергията в даден момент от времето. Състояния с определена енергийна стойност могат да се получат само в стационарни случаи (т.е. в случаи, които нямат точна дефиниция във времето).

Имайки корпускулярни и в същото време вълнови свойства, микрочастицата няма точна координата, а е „размазана“ в определена област на пространството. Ако има две или повече частици в определен регион на пространството, не е възможно да ги различим една от друга, тъй като е невъзможно да проследим движението на всяка. От горното следва, че частиците са идентични в квантовата механика.

Някои параметри, свързани с микрочастиците, приемат дискретни стойности, които класическата механика не може да обясни. В съответствие с разпоредбите и законите на квантовата механика, в допълнение към енергията на системата, ъгловият импулс на системата може да бъде дискретен:

където $l=0,1,2,\dots $

spin може да приема следните стойности:

където $s=0,\ \frac(1)(2),\ 1,\ \frac(3)(2),\dots $

Проекцията на магнитния момент върху посоката на външното поле приема следните стойности:

където $m_z$ е магнитно квантово число, което приема стойностите: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

$(\mu )_B$ -- Магнетон на Бор.

За да се опишат математически квантовите характеристики на физическите величини, на всяка величина се присвоява оператор. По този начин в квантовата механика физическите величини се представят от оператори и техните стойности се определят от средната стойност на собствените стойности на операторите.

Състояние на квантовата система

Всяко състояние в квантовата система се описва с помощта на вълнова функция. Тази функция обаче прогнозира параметрите на бъдещото състояние на системата с определена степен на вероятност, а не надеждно, което е фундаментална разлика от класическата механика. Така за параметрите на системата вълновата функция определя вероятностните стойности. Подобна несигурност и неточност на прогнозите най-вече предизвикаха спорове сред учените.

Измерени параметри на квантова система

Най-глобалните разлики между класическата и квантовата механика се крият в ролята на измерване на параметрите на изследваната квантова система. Проблемът с измерванията в квантовата механика е, че когато се опитва да измери параметрите на микросистема, изследователят действа върху системата с макроустройство, като по този начин променя състоянието на самата квантова система. По този начин, когато се опитваме да измерим точно параметър на микрообект (координата, импулс, енергия), ние се сблъскваме с факта, че самият процес на измерване променя параметрите, които се опитваме да измерим, и то значително. Невъзможно е да се направят точни измервания в микрокосмоса. Винаги ще има грешки според принципа на неопределеността.

В квантовата механика динамичните променливи се представят чрез оператори, така че няма смисъл да се говори за числени стойности, тъй като операторът определя действието върху вектора на състоянието. Резултатът също е представен като пространствен вектор на Хилберт, а не като число.

Бележка 1

Само ако векторът на състоянието е собствен вектор на оператора на динамична променлива, тогава неговото действие върху вектора може да се сведе до умножение по число, без да се променя състоянието. В този случай операторът на динамична променлива може да бъде свързан с едно число, което е равно на собствената стойност на оператора. В този случай можем да приемем, че динамичната променлива има определена числена стойност. Тогава динамичната променлива има количествена стойност, независима от измерването.

В случай, че векторът на състоянието не е собствен вектор на оператора на динамична променлива, тогава резултатът от измерването не става еднозначен и те говорят само за вероятността на определена стойност, получена при измерването.

Резултатите от теорията, които са емпирично проверими, са вероятността за получаване на динамична променлива при измерване с голям брой измервания за един и същ вектор на състоянието.

Основната характеристика на квантовата система е вълновата функция, която е въведена от М. Борн. Физическият смисъл най-често се определя не от самата вълнова функция, а от квадрата на нейния модул, който определя вероятността една квантова система да се намира в дадена точка от пространството в даден момент от времето. Основата на микросвета е вероятността. В допълнение към познаването на вълновата функция, за да се опише една квантова система, е необходима информация за други параметри, например за параметрите на полето, с което системата взаимодейства.

Процесите, протичащи в микрокосмоса, са извън границите на човешкото сетивно възприятие. Следователно понятията и феномените, които използва квантовата механика, са лишени от яснота.

Пример 1

Упражнение:Каква е минималната грешка, с която може да се определи скоростта на електрон и протон, ако координатите на частиците са известни с несигурност от $1$ µm.

Решение:

Като основа за решаване на задачата използваме отношението на несигурност на Хайзенберг във формата:

\[\triangle p_x\triangle x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

където $\triangle x$ е несигурността на координатата, $\triangle p_x$ е несигурността на проекцията на импулса на частицата върху оста X. Големината на несигурността на импулса може да се изрази като:

\[\триъгълник p_x=m\триъгълник v_x\наляво(1.2\вдясно).\]

Замествайки дясната страна на израз (1.2) вместо несигурността на проекцията на импулса в израз (1.1), имаме:

От формула (1.3) изразяваме желаната несигурност на скоростта:

\[\triangle v_x\ge \frac(\hbar )(m\триъгълник x)\left(1.4\right).\]

От неравенство (1.4) следва, че минималната грешка при определяне на скоростта на частиците е равна на:

\[\триъгълник v_x=\frac(\hbar )(m\триъгълник x).\]

Знаейки масата на електрона $m_e=9.1\cdot (10)^(-31)kg,$ нека направим изчисленията:

\[\триъгълник v_(ex)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(9,1\cdot (10)^(-31)\cdot (10)^(-6) )=1,1\ cdot (10)^2(\frac(m)(s)).\]

масата на протона е равна на $m_p=1,67\cdot (10)^(-27)kg$, нека изчислим грешката при измерване на скоростта на протона при дадени условия:

\[\триъгълник v_(px)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(1,67\cdot (10)^(-27)\cdot (10)^(-6) )=0,628\ cdot (10)^(-1)(\frac(m)(s)).\]

Отговор:$\триъгълник v_(ex)=1.1\cdot (10)^2\frac(m)(s),$ $\триъгълник v_(px)=0.628\cdot (10)^(-1)\frac( m) (s).$

Пример 2

Упражнение:Каква е минималната грешка при измерване на кинетичната енергия на електрон, ако той се намира в област с размер l.

Решение:

Като основа за решаване на задачата използваме отношението на несигурност на Хайзенберг във формата:

\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \triangle p_x\ge \frac(\hbar )(l)\left(2.1\right).\]

От неравенство (2.1) следва, че минималната импулсна грешка е равна на:

\[\триъгълник p_x=\frac(\hbar )(l)\left(2.2\right).\]

Грешката на кинетичната енергия може да се изрази като:

\[\триъгълник E_k=\frac((\left(\triangle p_x\right))^2)(2m)=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\ надясно))^22\cdot m_e).\]

Отговор:$\триъгълник E_k=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\right))^22\cdot m_e).$

А.Г. Акманов, Б.Г. Шакиров

Основи на квантовите и оптоелектронни устройства

УДК 621.378.1+621.383.4

Рецензенти

Катедра по телекомуникационни системи, UGATU

Маликов R.F.,Доктор на физико-математическите науки,

професор на BSPU

Протокол No 24 от 24.06.2003г. Пленум на Съвета на ОМО по образование в

телекомуникационна област.

Акманов А.Г., Шакиров Б.Г.

A40 Основи на квантовите и оптоелектронните устройства. Урок.

Уфа: РИО БашГУ, 2003. - 129 с.

Този труд е учебник по дисциплините „Оптоелектронни и квантови прибори и устройства“, „Квантова радиофизика“ в специалностите „Физика и оптична комуникационна техника“ и „Радиофизика и електроника“.

Разглеждат се физическите основи, принципите на действие и характеристиките на твърдотелни, газови и полупроводникови лазери и проблемите на управлението на техните параметри. Очертани са физическите основи и характеристики на елементите на оптоелектронните устройства.

УДК 621.378.1 + 621.383.4

Акманов А.Г., Шакиров Б.Г., 2003г

ã Башкирски държавен университет, 2003 г

ВЪВЕДЕНИЕ

Квантовата електроника като област на науката и технологиите се разбира като наука, която изучава теорията и метода за генериране и усилване на електромагнитни вълни чрез индуцирано лъчение в термодинамично неравновесни квантови системи (атоми, молекули, йони), свойствата на генераторите и усилвателите по този начин получени и техните приложения.

В основата на квантовата електроника са физичните принципи, формулирани през 1916 г. от А. Айнщайн, който теоретично предсказва съществуването на стимулирано лъчение и посочва специалното му свойство - кохерентност към движещото лъчение.

Възможността за създаване на квантови устройства беше обоснована в началото на 50-те години. През 1954 г. във Физическия институт на Академията на науките на СССР (Прохоров А.М., Басов Н., Г.) и в Колумбийския университет (Таунс Ч.) са разработени молекулярни квантови генератори (или мазери1) от микровълновия диапазон. Следващата стъпка, естествена за развитието на квантовата електроника, беше направена към създаването на квантови устройства в оптичния диапазон. Теоретичната обосновка на тази възможност (Townes Ch., Shavlov A., 1958), предложението за отворен резонатор като осцилаторна система в оптичния диапазон (Prokhorov A.M., 1958) стимулира експерименталните изследвания. През 1960 г. е създаден лазер 1 на рубин (Meiman T., САЩ), през 1961 г. - лазер на смес от хелий с неон (Джаван А., САЩ), а през 1962 г. - първите полупроводникови лазери (САЩ, СССР).

Оптоелектрониката (OE) е област на науката и технологиите, свързана с разработването и приложението на електрооптични устройства и системи за предаване, приемане, обработка, съхраняване и показване на информация.

В зависимост от характера на оптичния сигнал се разграничават кохерентна и некохерентна оптоелектроника. Кохерентният OE се основава на използването на източници на лазерно лъчение. Некохерентното ОЕ включва дискретни и матрични некохерентни излъчватели и изградени на тяхна база индикаторни устройства, както и фотодетектори, оптрони, интегрални схеми на оптрони и др.

Лазерното лъчение има следните свойства:

1. Времева и пространствена съгласуваност. Времето на кохерентност може да бъде до 10 -3 s, което съответства на дължина на кохерентност от порядъка на 10 5 m (l кохерентност =c кохерентност), т.е. седем порядъка по-висока от тази за конвенционалните светлинни източници.

2. Строг едноцветен (<10 -11 м).

3. Висока плътност на енергийния поток.

4. Много малка ъглова дивергенция в средата.

Ефективността на лазерите варира в широки граници - от 0,01% (за хелиево-неонов лазер) до 75% (за полупроводников лазер), въпреки че за повечето лазери ефективността е 0,1-1%.

Необичайните свойства на лазерното лъчение сега се използват широко. Използването на лазери за обработка, рязане и микрозаваряване на твърди материали се оказва икономически по-изгодно. Лазерите се използват за бързо и точно откриване на дефекти в продуктите, за най-фини операции (например CO 2 лазерен лъч като безкръвен хирургически нож), за изследване на механизма на химичните реакции и влиянието върху тяхното протичане, за получаване на свръхчисти вещества. Едно от важните приложения на лазерите е производството и изследването на високотемпературна плазма. Тази област на тяхното приложение е свързана с развитието на нова посока - лазерно контролиран термоядрен синтез. Лазерите се използват широко в измервателната техника. Лазерните интерферометри се използват за свръхпрецизни дистанционни измервания на линейни премествания, показатели на пречупване на средата, налягане и температура.

Източниците на лазерно лъчение са широко разпространени в комуникационните технологии.

ФИЗИЧНИ ОСНОВИ НА ЛАЗЕРИТЕ

Усилването на светлинна вълна в лазерите се основава на явлението индуцирано излъчване на фотон от възбудена частица от вещество (атом, молекула). За да играе основна роля стимулираното излъчване, е необходимо работното вещество (усилваща среда) да се преведе от равновесно състояние в неравновесно състояние, при което се създава инверсия на популациите на енергийните нива.

Като осцилираща система в лазерите се използва т. нар. отворен резонатор, който представлява система от две силно отразяващи огледала. При поставяне на работно вещество между тях се създава условие за многократно преминаване на усилено лъчение през активната среда и по този начин се осъществява положителна обратна връзка.

Процесът на възбуждане на активна среда с цел създаване на инверсия на населението в нея се нарича изпомпване, а физическата система, която осигурява този процес, се нарича помпена система.

Така в структурната схема на всеки тип лазер могат да се разграничат три основни елемента: активна среда, помпена система и отворен резонатор.

В съответствие с това, глава I очертава основите на теорията за квантовото усилване и генериране по време на взаимодействието на светлинното лъчение с материята, методите на изпомпване и теорията за отворения резонатор.

Оптично излъчване

Оптичното излъчване или светлината са електромагнитни вълни, чиято дължина на вълната варира от няколко нанометра до стотици микрометри. В допълнение към видимото лъчение, възприемано от човешкото око ( л=0,38-0,76 микрона), различават ултравиолетовото ( л=0,01-0,38 микрона) и инфрачервен ( л=0,78-100 µm) радиация.

Нека си припомним някои разпоредби и формули на вълновата и квантовата оптика. Вълновата оптика се основава на уравненията на класическата електродинамика, които се основават на уравненията на Максуел:

[ д]=гниене д=

[ з]=гниене з= (1.1) където E, D, H, Bса векторите на интензитет и индукция съответно на електрическото и магнитното поле (система (1.1) е написана за случая на липса на токове и заряди в средата). В хомогенна изотропна среда дИ бсвързани с полета дИ зсъотношения (в система SI):

D=ε 0 e E, B=μ 0 m H,(1.2) където д– относителна диелектричност, м- относителна магнитна проницаемост на средата, e 0– електрически, m 0– магнитни константи. Система (1.1) се свежда до вълновото уравнение за (или ): (1.3) Уравнение (1.3) има решение , (1.4), който описва плоска вълна, разпространяваща се в посоката, определена от вълновия вектор с фазова скорост:

(1.5)

Където c=- скоростта на светлината във вакуум. За немагнитна среда m=1, n=и за скоростта на вълната получаваме: (1.5a)

Обемната плътност на енергията, пренесена от електромагнитна вълна, се дава по формулата: r=(1/2)ε 0 eE2+ (1/2)μ 0 mH2= ε 0 eE2. (1.6)

Спектрална обемна енергийна плътност r nсе определя от отношението: (1.7)

Модул на вектора на Умов-Пойнтинг (1.8)

определя плътността на потока на светлинната енергия, .

Интензитетът на светлината се отнася до усреднения за времето енергиен поток (1.9)

Процесите на поглъщане и излъчване на светлина могат да бъдат обяснени само в рамките на квантовата оптика, която разглежда оптичното излъчване под формата на поток от елементарни частици - фотони, които нямат маса на покой и електрически заряд, но имат енергия дf =hn, импулс p= ч к и се движат със скоростта на светлината.

Плътност на фотонния поток F=I/(hn)=ru/(hn)(1.10)

Където [ hn]=J, [ Е]=1/(m 2 s).

Енергийни състояния на квантовата система. Популации на квантови нива

Най-важното свойство на квантовите системи (съвкупност от атоми, молекули) е, че тяхната вътрешна енергия може да приема само дискретни стойности E 1 ,E 2 ,..E n yопределени от решения на съответните уравнения на Шрьодингер. Наборът от възможни енергийни нива за дадена квантова система се нарича енергиен спектър. На диаграмата на енергийното ниво енергията се изразява в джаули, обратни сантиметри или електронволтове. Състоянието с най-ниска енергия, което е най-стабилно, се нарича основно състояние. Всички други състояния, които отговарят на висока енергия, се наричат ​​възбудени.

Като цяло може да си представим, че няколко различни възбудени състояния се характеризират с една и съща стойност на вътрешната енергия. В този случай се казва, че състоянията са изродени, а степента на израждане (или статистическата тежест на нивото g i.) е равен на броя на състоянията.

Помислете за макросистема, състояща се от N 0идентични слабо взаимодействащи микросистеми (атоми), притежаващи определен спектър от енергийни нива. Такава макросистема е лазерната активна среда.

Броят атоми на единица обем, разположени на дадено енергийно ниво аз,се нарича популация на това ниво N i .Разпределението на населението между нивата при условия на термодинамично равновесие се подчинява на статистиката на Болцман:

(1.11)

Където T– абсолютна температура, к– константа на Болцман, g i– множество дегенерации на нивата, , Където E i -енергия аз-то квантово ниво. От (1.11) следва, че т.е. сумата от популациите на всички енергийни нива е равна на броя на частиците N 0в разглеждания ансамбъл.

В съответствие с (1.11), в основно състояние с енергия Е 1при термодинамично равновесие има най-голям брой атоми, а популациите на горните нива намаляват с увеличаване на енергията на нивото (фиг. 1.1). Съотношението на популациите на две нива в равновесно състояние се дава по формулата: (1.12)

За прости неизродени нива g 1 = g 2 =1и формула (1.12) приема формата: (1.12а)

Мигновен, подобен на скок преход от ниво E iна ниво E jнаречен квантов преход. При E i >E jквантовата система освобождава енергия, равна на ( E i -E j), и когато E i <E j- абсорбира го. Квантов преход, включващ излъчване или поглъщане на фотон, се нарича оптичен. Енергията на излъчения (погълнат) фотон се определя от отношението на Бор:

hn ij = E i -E j (1.13)

1.3 Елементарни процеси на взаимодействие
оптично лъчение с материя

Нека разгледаме по-подробно квантовите преходи, които могат да възникнат между две произволно избрани енергийни нива, например 1 и 2 (фиг. 1.2), които съответстват на енергията Е 1И Е 2и населението N 1И N 2.

N 2

a B C)

N 2

N 2

Е 2

Е 2

Е 2

Ориз. 1.2 . Квантови преходи в двустепенна система.

Възможни са три вида оптични преходи: спонтанен,принудително с абсорбцияИ принудени с радиация.

Нека въведем количествени характеристики за тези вероятностни процеси, както беше направено за първи път от А. Айнщайн.

Спонтанни преходи

Ако атом (или молекула) е в състояние 2 в даден момент t=0, тогава има крайна вероятност то да премине в състояние 1, излъчвайки квант светлина (фотон) с енергия hn 21 = (E 2 -E 1)(фиг. 1.2а). Този процес, протичащ без взаимодействие с радиационното поле, се нарича спонтанен преход, и съответното излъчване е спонтанно излъчване. Вероятността за спонтанни преходи е пропорционална на времето, т.е. (dw 21) sp =A 21 dt, (1.14)

Където А 21 –Коефициент на Айнщайнза спонтанно излъчване и определя вероятността за преход за единица време, =1/c.

Нека приемем, че в момента TНаселението от ниво 2 е N 2. Скоростта на преминаване на тези атоми към по-ниско ниво поради спонтанно излъчване е пропорционална на вероятността за преминаване А 21и населението на нивото, от което се извършва преходът, т.е.

(dN 2 /dt) cn = -A 21 N 2.(1.15)

От квантовата механика следва, че възникват спонтанни преходи от дадено състояние само към състояния с по-ниска енергия, т.е. Няма спонтанни преходи от състояние 1 към състояние 2.

Принудителни преходи

Нека разгледаме взаимодействието на група идентични атоми с радиационно поле, чиято енергийна плътност е разпределена равномерно по честоти близо до честотата на прехода. Когато атом е изложен на електромагнитно излъчване с резонансна честота ( n=ν 21 =(E2-E1)/h) има крайна вероятност атомът да премине от състояние 1 към горното ниво 2, като същевременно поглъща квант от електромагнитното поле (фотон) с енергия hn(фиг. 1.2b).

Енергийна разлика (E 2 -E 1)необходима на атома, за да направи такъв преход, се взема от енергията на падащата вълна. Това е процесът поглъщания, което може да се опише с помощта на уравнението на скоростта (dN 1 /dt) p =W 12 N 1 =r n B 12 N 1,(1.16)

Където N 1– население от ниво 1, W 12 = r v B 12– вероятност за поглъщане за единица време, r v –спектрална обемна енергийна плътност на падащото лъчение, НА 12– Коефициент на Айнщайн за поглъщане.

Използва се и друг израз за вероятност W 12като:

W 12 = s 12 F,(1.17)

Където Е– плътност на потока на падащите фотони, s 12– количество нар напречно сечение на абсорбция, = m 2.

Нека сега приемем, че атомът първоначално е на горното ниво 2 и вълна с честота от n=n 21. Тогава има крайна вероятност тази вълна да инициира прехода на атома от ниво 2 към ниво 1. В този случай разликата в енергията (E 2 -E 1)ще се освободи под формата на електромагнитна вълна, която ще добави към енергията на падащата вълна. Това е феноменът принудително (индуцирано) излъчване.

Процесът на стимулирана емисия може да се опише с помощта на уравнението за скорост: (dN 2 /dt) отстранен =W 21 N 2 =r n B 21 N 2,(1.18)

Където N 2– население от ниво 2, W 21 = r v B 21– вероятност за принудителен преход за единица време, B 21 -Коефициент на Айнщайн за принудителен преход. И в този случай следната връзка е вярна за вероятността за преход: W 21 = s 21 F,(1.19)

Където s 21– сечение на стимулирано излъчване за преход 2→1.

Съществува фундаментална разлика между процесите на спонтанно и стимулирано излъчване. Вероятностите за индуцирани преходи са пропорционални на спектралната обемна плътност на електромагнитното поле, докато вероятностите за спонтанни преходи не зависят от външното поле. В случай на спонтанно излъчване атомът излъчва електромагнитна вълна, чиято фаза няма специфична връзка с фазата на вълната, излъчвана от друг атом. Освен това излъчваната вълна може да има произволна посока на разпространение.

В случай на стимулирано излъчване, тъй като процесът се инициира от падаща вълна, излъчването на всеки атом се добавя към тази вълна в същата фаза. Падащата вълна също определя поляризацията и посоката на разпространение на излъчваната вълна. По този начин, с увеличаване на броя на принудителните преходи, интензитетът на вълната се увеличава, докато нейната честота, фаза, поляризация и посока на разпространение остават непроменени. С други думи, в процеса на принудителни преходи от държавата Е 2в състояние Е 1се случва кохерентно усилване на електромагнитно излъчванена честота n 21 = (E 2 -E 1)/h.Разбира се, възникват и обратни преходи. E 1 ® E 2с абсорбция на електромагнитно излъчване.

Спонтанно излъчване

Интегриране на израз (1.15) във времето с началното условие N 2 (t=0)=N 20получаваме: N 2 (t)=N 20 exp(-A 21 t).(1.20)

Мощността на спонтанното излъчване се намира чрез умножаване на фотонната енергия hν 21по броя на спонтанните преходи за единица време:

P sp =hν 21 A 21 N 2 (t)V=P sp 0 exp(-A 21 t)(1.21)

Където P sp 0 =hn 21 A 21 N 20 V, V –обем на активната среда.

Нека представим концепцията за средния живот на атомитевъв възбудено състояние спрямо спонтанни преходи. В разглежданата двустепенна система атомите, които напускат възбудено състояние 2 за време от Tпреди t+Dt, очевидно, са били в това състояние от дълго време T. Броят на тези атоми е равен N 2 A 21 Dt.Тогава средната им продължителност на живота във възбудено състояние се определя от съотношението:

Нека представим формула (1.22) във вида:

(1.21 а)

Размер t spможе да се намери експериментално, тъй като се явява като параметър в закона за затихване на спонтанната луминесценция, определена по формула (1.21 а).

Свързана информация.

Квантовите системи и техните свойства.

Разпределение на вероятностите върху енергиите в пространството.

Бозонна статистика. Разпределение на Ферми-Айнщайн.

Fermion статистика. Разпределение на Ферми-Дирак.

Квантовите системи и техните свойства

В класическата статистика се приема, че частиците, които изграждат системата, се подчиняват на законите на класическата механика. Но за много явления е необходимо да се използва квантовата механика, когато се описват микрообекти. Ако една система се състои от частици, които се подчиняват на квантовата механика, тогава ще я наречем квантова система.

Основните разлики между класическата система и квантовата система включват:

1) Дуалност вълна-частица на микрочастиците.

2) Дискретност на физичните величини, описващи микрообекти.

3) Спинови свойства на микрочастиците.

От първото следва, че е невъзможно точно да се определят всички параметри на системата, които определят нейното състояние от класическа гледна точка. Този факт е отразен в зависимостта на несигурността на Хайзенберг:

За да се опишат математически тези характеристики на микрообектите в квантовата физика, количеството се свързва с линеен ермитов оператор, който действа върху вълновата функция.

Собствените стойности на оператора определят възможните числени стойности на това физическо количество, чиято средна стойност съвпада със стойността на самото количество.

Тъй като моментите и коефициентите на микрочастиците на системата не могат да бъдат измерени едновременно, вълновата функция се представя или като функция на координатите:

Или, като функция на импулси:

Квадратът на модула на вълновата функция определя вероятността за откриване на микрочастица на единица обем:

Вълновата функция, описваща конкретна система, се намира като собствена функция на оператора на Хамелтън:

Стационарно уравнение на Шрьодингер.

Нестационарно уравнение на Шрьодингер.

В микрокосмоса действа принципът на неразличимост на микрочастиците.

Ако вълновата функция удовлетворява уравнението на Шрьодингер, тогава функцията също удовлетворява това уравнение. Състоянието на системата няма да се промени, когато 2 частици се пренаредят.

Нека първата частица е в състояние a, а втората в състояние b.

Състоянието на системата е описано:

Ако частиците са разменени, тогава: тъй като движението на частицата не трябва да влияе на поведението на системата.

Това уравнение има 2 решения:

Оказа се, че първата функция е реализирана за частици с цял спин, а втората с полуцял спин.

В първия случай 2 частици могат да бъдат в едно и също състояние:

Във втория случай:

Частиците от първия тип се наричат ​​спин-целочислени бозони), частиците от втория тип се наричат ​​фемиони (за тях е валиден принципът на Паули).

Фермиони: електрони, протони, неутрони...

Бозони: фотони, дейтрони...

Фермионите и бозоните се подчиняват на некласическа статистика. За да видим разликите, нека преброим броя на възможните състояния на система, състояща се от две частици с еднаква енергия в две клетки във фазовото пространство.

1) Класическите частици са различни. Възможно е проследяване на всяка частица поотделно.

Класически частици.

В първата и втората част на учебника се приемаше, че частиците, които изграждат макроскопичните системи, се подчиняват на законите на класическата механика. Оказа се обаче, че за да обясним много свойства на микрообектите, вместо класическата механика, трябва да използваме квантовата механика. Свойствата на частиците (електрони, фотони и др.) в квантовата механика са качествено различни от обичайните класически свойства на частиците. Квантовите свойства на микрообектите, съставляващи определена физическа система, се проявяват и в свойствата на макроскопичната система.

Като такива квантови системи ще разглеждаме електрони в метал, фотонен газ и т.н. По-нататък под думата квантова система или частица ще разбираме определен материален обект, описан от апарата на квантовата механика.

Квантовата механика описва свойствата и особеностите, присъщи на частиците от микросвета, които често не можем да обясним на базата на класически концепции. Такива характеристики включват например частицно-вълновия дуализъм на микрообектите в квантовата механика, открит и потвърден от многобройни експериментални факти, дискретността на различни физични параметри, „спинови“ свойства и др.

Специалните свойства на микрообектите не позволяват тяхното поведение да бъде описано с конвенционалните методи на класическата механика. Например наличието на микрочастица, проявяваща едновременно вълнови и корпускулярни свойства

не позволява едновременно точно измерване на всички параметри, които определят състоянието на една частица от класическа гледна точка.

Този факт е отразен в така наречената връзка на неопределеността, открита през 1925 г. от Хайзенберг, която се състои в това, че неточностите при определяне на координатата и импулса на микрочастицата са свързани с връзката:

Последицата от тази връзка е редица други връзки между различни параметри и по-специално:

където е несигурността в стойността на енергията на системата и несигурността във времето.

И двете горни зависимости показват, че ако едно от количествата е определено с голяма точност, то второто количество се оказва определено с ниска точност. Неточностите тук се определят чрез константата на Планк, която практически не ограничава точността на измерванията на различни величини за макроскопични обекти. Но за микрочастици с ниски енергии, малки размери и моменти, точността на едновременното измерване на отбелязаните параметри вече не е достатъчна.

По този начин състоянието на микрочастицата в квантовата механика не може да бъде едновременно описано с помощта на координати и моменти, както се прави в класическата механика (каноничните уравнения на Хамилтън). По същия начин не можем да говорим за стойността на енергията на частицата в даден момент. Състояния с определена енергия могат да се получат само в стационарни случаи, т.е. не са точно определени във времето.

Притежавайки корпускулярно-вълнови свойства, всяка микрочастица няма абсолютно точно определена координата, а изглежда „размазана“ в пространството. Ако има определена област от пространството на две или повече частици, ние не можем да ги различим една от друга, тъй като не можем да проследим движението на всяка от тях. Това предполага фундаменталната неразличимост или идентичност на частиците в квантовата механика.

Освен това се оказва, че величините, характеризиращи някои параметри на микрочастиците, могат да се променят само в определени части, кванти, откъдето идва и наименованието квантова механика. Тази дискретност на много параметри, които определят състоянията на микрочастиците, също не може да бъде описана в класическата физика.

Според квантовата механика, в допълнение към енергията на системата, дискретни стойности могат да приемат ъгловия импулс на системата или спина, магнитния момент и техните проекции към всяка избрана посока. По този начин квадратът на ъгловия момент може да приема само следните стойности:

Завъртането може да приема само стойности

къде би могло да бъде

Проекцията на магнитния момент върху посоката на външното поле може да приема стойности

където е магнетонът на Бор и магнитното квантово число, приемайки стойността:

За да се опишат математически тези характеристики на физическите величини, всяка физическа величина трябваше да бъде свързана с определен оператор. Следователно в квантовата механика физическите величини се представят чрез оператори и техните стойности се определят като средни стойности на собствените стойности на операторите.

При описанието на свойствата на микрообектите беше необходимо, в допълнение към свойствата и параметрите, срещани в класическото описание на микрочастиците, да се въведат нови, чисто квантови параметри и свойства. Те включват "въртенето" на частицата, което характеризира нейния собствен ъглов импулс, "обменно взаимодействие", принципа на Паули и др.

Тези характеристики на микрочастиците не позволяват те да бъдат описани с помощта на класическата механика. В резултат на това микрообектите се описват от квантовата механика, която отчита отбелязаните характеристики и свойства на микрочастиците.