ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip dimenzionalne kvantizacije Cijeli kompleks fenomena koji se obično podrazumijeva pod riječima “elektronička svojstva niskodimenzionalnih elektroničkih sustava” temelji se na temeljnoj fizikalnoj činjenici: promjeni energetskog spektra elektrona i rupe u strukturama vrlo malih dimenzija. Pokažimo osnovnu ideju kvantizacije veličine na primjeru elektrona smještenih u vrlo tankom metalnom ili poluvodičkom filmu debljine a.
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip dimenzionalne kvantizacije Elektroni u filmu nalaze se u potencijalnoj jami s dubinom jednakom radu rada. Dubina potencijalne jame može se smatrati beskonačno velikom, jer rad premašuje toplinsku energiju nositelja za nekoliko redova veličine. Tipične vrijednosti rada rada u većini krutih tvari su W = 4 -5 Oe. B, nekoliko redova veličine veća od karakteristične toplinske energije nosača, koja ima red veličine k. T jednak na sobnoj temperaturi 0,026 e. B. Prema zakonima kvantne mehanike, energija elektrona u takvoj jažici je kvantizirana, odnosno može poprimiti samo neke diskretne vrijednosti En, gdje n može poprimiti cjelobrojne vrijednosti 1, 2, 3, … . Ove diskretne vrijednosti energije nazivaju se razinama kvantizacije veličine.
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip dimenzionalne kvantizacije Za slobodnu česticu efektivne mase m*, čije je kretanje u kristalu u smjeru osi z ograničeno neprobojnim barijerama (tj. barijerama s beskonačnim potencijalom). energije), energija osnovnog stanja raste u usporedbi sa stanjem bez ograničenja za iznos. Ovo povećanje energije naziva se energija kvantizacije veličine čestice. Energija kvantizacije je posljedica principa neodređenosti u kvantnoj mehanici. Ako je čestica prostorno ograničena duž osi z unutar udaljenosti a, nesigurnost z komponente njezine količine gibanja povećava se za iznos reda veličine ħ/a. Sukladno tome, kinetička energija čestice raste za iznos E 1. Stoga se razmatrani učinak često naziva kvantno-veličinski učinak.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip dimenzionalne kvantizacije Zaključak o kvantizaciji energije elektroničkog gibanja odnosi se samo na gibanje po potencijalnoj jami (duž z osi). Potencijal jame ne utječe na gibanje u ravnini xy (paralelno s granicama filma). U ovoj se ravnini nositelji kreću kao slobodni nositelji i karakterizirani su, kao u masivnom uzorku, kontinuiranim energetskim spektrom kvadratnog momenta s efektivnom masom. Ukupna energija nositelja u filmu kvantne veličine ima mješoviti diskretni kontinuirani spektar
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip kvantizacije veličine Osim povećanja minimalne energije čestice, kvantni učinak veličine dovodi i do kvantizacije energija njezinih pobuđenih stanja. Energetski spektar filma kvantne veličine - impuls nositelja naboja u ravnini filma
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip veličinske kvantizacije Neka elektroni u sustavu imaju energije manje od E 2, te prema tome pripadaju nižoj razini veličinske kvantizacije. Tada nikakav elastični proces (npr. raspršenje na nečistoćama ili akustičnim fononima), kao ni raspršenje elektrona jednih na drugima, ne može promijeniti kvantni broj n, prebacujući elektron na višu razinu, jer bi to zahtijevalo dodatnu energiju. To znači da elektroni tijekom elastičnog raspršenja mogu samo promijeniti svoj moment u ravnini filma, tj. ponašaju se kao čisto dvodimenzionalne čestice. Stoga se strukture kvantne veličine u kojima je ispunjena samo jedna kvantna razina često nazivaju dvodimenzionalnim elektroničkim strukturama.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip dimenzionalne kvantizacije Postoje i druge moguće kvantne strukture gdje je kretanje nositelja ograničeno ne u jednom, već u dva smjera, kao u mikroskopskoj žici ili niti (kvantne niti ili žice). Nosači se u tom slučaju mogu slobodno kretati samo u jednom smjeru, po navoju (nazovimo to x osi). U presjeku (yz ravnina) energija je kvantizirana i poprima diskretne vrijednosti Emn (kao i svako dvodimenzionalno gibanje, opisuje se s dva kvantna broja, m i n). Cijeli spektar je također diskretno kontinuiran, ali sa samo jednim kontinuiranim stupnjem slobode:
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Princip dimenzionalne kvantizacije Također je moguće stvoriti kvantne strukture koje podsjećaju na umjetne atome, gdje je kretanje nositelja ograničeno u sva tri smjera (kvantne točke). U kvantnim točkama energetski spektar više ne sadrži kontinuiranu komponentu, odnosno ne sastoji se od podpojasa, već je čisto diskretan. Kao i u atomu, opisan je s tri diskretna kvantna broja (ne računajući spin) i može se napisati kao E = Elmn, a, kao u atomu, energetske razine mogu biti degenerirane i ovise o samo jednom ili dva broja. Zajednička značajka niskodimenzionalnih struktura jest činjenica da ako je, barem duž jednog smjera, kretanje nositelja ograničeno na vrlo malo područje usporedivo po veličini s de Broglieovom valnom duljinom nositelja, njihov se energetski spektar primjetno mijenja i postaje djelomično ili potpuno diskretno.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Definicije Kvantne točke su strukture čije su dimenzije u sva tri smjera nekoliko međuatomskih udaljenosti (nul-dimenzionalne strukture). Kvantne žice (niti) - kvantne žice - strukture čije su dimenzije u dva smjera jednake nekoliko međuatomskih udaljenosti, au trećem - makroskopska vrijednost (jednodimenzionalne strukture). Kvantne jame su strukture čija je veličina u jednom smjeru nekoliko međuatomskih udaljenosti (dvodimenzionalne strukture).
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Minimalne i maksimalne veličine Donja granica kvantizacije veličine određena je kritičnom veličinom Dmin, pri kojoj u kvantnodimenzionalnoj strukturi postoji najmanje jedna elektronska razina. Dmin ovisi o jazu vodljivog pojasa DEc u odgovarajućoj heterospojnici koja se koristi za dobivanje struktura kvantnih jažica. U kvantnoj jami postoji barem jedna elektronska razina ako DEc premašuje vrijednost h – Planckove konstante, me* je efektivna masa elektrona, DE 1 QW je prva razina u pravokutnoj kvantnoj jami s beskonačnim stijenkama.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA ELEKTRONIČKIH SUSTAVA NISKIH DIMENZIJA Minimalne i maksimalne dimenzije Ako udaljenost između energetskih razina postane usporediva s toplinskom energijom k. BT, tada se povećava populacija visokih razina. Za kvantnu točku, uvjet pod kojim se populacija viših razina može zanemariti zapisan je kao E 1 QD, E 2 QD - energije prve i druge kvantizacijske razine veličine. To znači da se prednosti kvantizacije veličine mogu u potpunosti ostvariti ako ovaj uvjet postavlja gornje granice za kvantizaciju veličine. Za Ga. As-Alx. Ga 1 -x. Kako je ova vrijednost 12 nm.
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Važna karakteristika svakog elektroničkog sustava, uz njegov energetski spektar, je gustoća stanja g(E) (broj stanja po jedinici energetskog intervala E ). Za trodimenzionalne kristale gustoća stanja određena je pomoću cikličkih Born-Karmanovih rubnih uvjeta, iz kojih slijedi da se komponente valnog vektora elektrona ne mijenjaju kontinuirano, već poprimaju niz diskretnih vrijednosti, ovdje ni = 0 , ± 1, ± 2, ± 3, te su dimenzije kristala (u obliku kocke sa stranicom L). Volumen k-prostora po kvantnom stanju jednak je (2)3/V, gdje je V = L 3 volumen kristala.
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Dakle, broj elektronskih stanja po elementu volumena dk = dkxdkydkz, izračunat po jedinici volumena, bit će jednak ovdje, faktor 2 uzima u obzir dva moguća orijentacije spina. Broj stanja po jedinici volumena u recipročnom prostoru, tj. gustoća stanja) ne ovisi o valnom vektoru. Drugim riječima, u recipročnom prostoru dopuštena stanja su raspoređena s konstantnom gustoćom.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama U općem slučaju, praktički je nemoguće izračunati gustoću funkcije stanja s obzirom na energiju, budući da izoenergetske površine mogu imati prilično složen oblik. U najjednostavnijem slučaju izotropnog paraboličkog zakona disperzije, koji vrijedi za rubove energetskih vrpci, može se pronaći broj kvantnih stanja po volumenu sferičnog sloja zatvorenog između dvije bliske izoenergetske površine koje odgovaraju energijama E i E+d. E.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Volumen sferičnog sloja u k-prostoru. dk – debljina sloja. Ovaj volumen će iznositi d. N stanja Uzimajući u obzir vezu između E i k prema paraboličnom zakonu, dobivamo Stoga će gustoća stanja u energiji biti jednaka m* - efektivna masa elektrona
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u strukturama smanjene dimenzionalnosti Dakle, u trodimenzionalnim kristalima s paraboličnim energetskim spektrom, s porastom energije, gustoća dopuštenih energetskih razina (gustoća stanja) će rasti proporcionalno gustoća razina u vodljivom i valentnom pojasu. Površina osjenčanih područja proporcionalna je broju razina u energetskom intervalu d. E
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Izračunajmo gustoću stanja za dvodimenzionalni sustav. Ukupna energija nositelja za izotropni parabolični zakon disperzije u filmu kvantne veličine, kao što je gore prikazano, ima mješoviti diskretno kontinuirani spektar. U dvodimenzionalnom sustavu, stanja vodljivog elektrona određena su s tri broja (n, kx , ky). Energetski spektar je podijeljen u zasebne dvodimenzionalne En podzone koje odgovaraju fiksnim vrijednostima n.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Krivulje konstantne energije su kružnice u recipročnom prostoru. Svaki diskretni kvantni broj n odgovara apsolutnoj vrijednosti z-komponente valnog vektora. Stoga se volumen u recipročnom prostoru ograničen zatvorenom površinom zadane energije E u slučaju dvodimenzionalnog sustava dijeli na broj odjeljaka.
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Odredimo ovisnost gustoće stanja o energiji za dvodimenzionalni sustav. Da bismo to učinili, za dani n, nalazimo površinu S prstena omeđenog s dvije izoenergetske površine koje odgovaraju energijama E i E+d. E: Ovdje je veličina dvodimenzionalnog valnog vektora koja odgovara zadanim n i E; dkr – širina prstena. Budući da jedno stanje u ravnini (kxky) odgovara području gdje je L 2 područje dvodimenzionalnog filma debljine a, broj elektroničkih stanja u prstenu, izračunat po jedinici volumena kristala, bit će jednako, uzimajući u obzir spin elektrona
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Budući da je ovdje energija koja odgovara dnu n-tog podpojasa. Dakle, gustoća stanja u dvodimenzionalnom filmu gdje je Q(Y) Heavisideova jedinična funkcija, Q(Y) =1 za Y≥ 0 i Q(Y) =0 za Y
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u dvodimenzionalnom filmu također se može prikazati kao cjelobrojni dio jednak broju podpojasa čije je dno ispod energije E. Dakle, , za dvodimenzionalne filmove s paraboličnim zakonom disperzije, gustoća stanja u bilo kojoj podzoni je konstantna i ne ovisi o energiji. Svaki podpojas daje jednak doprinos ukupnoj gustoći stanja. Pri fiksnoj debljini filma, gustoća stanja se naglo mijenja kada se ne mijenja za jedinicu.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Ovisnost gustoće stanja dvodimenzionalnog filma o energiji (a) i debljini a (b).
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama U slučaju proizvoljnog zakona disperzije ili druge vrste potencijalne jame, ovisnost gustoće stanja o energiji i debljini filma može se razlikovati od gore navedenih, ali će glavna značajka - nemonotono ponašanje - ostati.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Izračunajmo gustoću stanja za jednodimenzionalnu strukturu - kvantnu nit. Izotropni parabolični zakon disperzije u ovom slučaju može se napisati u obliku x je usmjeren duž kvantne niti, d je debljina kvantne niti duž y i z osi, kx je jednodimenzionalni valni vektor. m, n su pozitivni cijeli brojevi koji karakteriziraju gdje os kvantnih podpojasa. Energetski spektar kvantne niti je tako podijeljen u zasebne preklapajuće jednodimenzionalne podpojase (parabole). Kretanje elektrona duž osi x je slobodno (ali s efektivnom masom), a kretanje duž druge dvije osi je ograničeno.
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Elektronski energetski spektar za kvantnu nit
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj niti prema energiji Broj kvantnih stanja po intervalu dkx, izračunato po jedinici volumena gdje je energija koja odgovara dnu podpojasa s dati n i m.
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj niti kao funkcija energije Tako Stoga Stoga Pri izvođenju ove formule, spinska degeneracija stanja i činjenica da je jedan interval d uzeti u obzir. E odgovara dvama intervalima ±dkx svakog podpojasa za koji je (E-En, m) > 0. Energija E se mjeri od dna vodljivog pojasa masivnog uzorka.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj niti o energiji Ovisnost gustoće stanja kvantne niti o energiji. Brojevi uz krivulje pokazuju kvantne brojeve n i m. Faktori degeneracije razina podpojasa navedeni su u zagradama.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIJSKIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj niti kao funkcija energije Unutar pojedinog podpojasa gustoća stanja opada s porastom energije. Ukupna gustoća stanja je superpozicija identičnih opadajućih funkcija (koje odgovaraju pojedinačnim podpojasima) pomaknutih duž energetske osi. Pri E = E m, n, gustoća stanja jednaka je beskonačnosti. Podpojasi s kvantnim brojevima n m pokazuju se dvostruko degeneriranima (samo za Ly = Lz d).
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj točki u ovisnosti o energiji Trodimenzionalnim ograničenjem gibanja čestica dolazimo do problema pronalaženja dopuštenih stanja u kvantu točkasti ili nultodimenzionalni sustav. Primjenom aproksimacije efektivne mase i paraboličkog zakona disperzije, za rub izotropnog energetskog pojasa, spektar dopuštenih stanja kvantne točke istih dimenzija d duž sve tri koordinatne osi imat će oblik n, m, l = 1 , 2, 3 ... - pozitivni brojevi koji označavaju podpojase. Energetski spektar kvantne točke skup je diskretnih dopuštenih stanja koja odgovaraju fiksnim n, m, l.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Distribucija kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj točki kao funkcija energije Broj stanja u podpojasima koji odgovaraju jednom skupu n, m, l, izračunato po jedinici volumena, Ukupno broj stanja s istom energijom, izračunat po jedinici volumena. Degeneracija razina prvenstveno je određena simetrijom problema. g – faktor degeneracije razine
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH ELEKTRONIČKIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj točki u ovisnosti o energiji Degeneracija razina prvenstveno je određena simetrijom problema. Na primjer, za razmatrani slučaj kvantne točke s istim dimenzijama u sve tri dimenzije, razine će biti tri puta degenerirane ako su dva kvantna broja jednaka jedan drugome, a nisu jednaka trećem, i šest puta degenerirane ako su svi kvantni brojevi brojevi nisu međusobno jednaki. Specifična vrsta potencijala također može dovesti do dodatne, tzv. slučajne degeneracije. Na primjer, za kvantnu točku koja se razmatra, na trostruku degeneraciju razina E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), povezan sa simetrijom problema, dodaje se slučajna degeneracija E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 i u prvom i u drugom slučaju), pridružena s oblikom ograničavajući potencijal (beskonačna pravokutna potencijalna jama).
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH SUSTAVA Raspodjela kvantnih stanja u niskodimenzionalnim strukturama Gustoća stanja u kvantnoj točki kao funkcija energije Raspodjela broja dopuštenih stanja N u vodljivom pojasu za kvantnu točku istih dimenzija u svim tri dimenzije. Brojevi predstavljaju kvantne brojeve; Faktori degeneracije razine navedeni su u zagradama.
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Trodimenzionalni elektronički sustavi Svojstva ravnotežnih elektrona u poluvodičima ovise o Fermijevoj funkciji razdiobe koja određuje vjerojatnost da će elektron biti u kvantnom stanju s energijom E EF - Fermijeva razina ili elektrokemijski potencijal, T - apsolutna temperatura, k – Boltzmannova konstanta. Izračun različitih statističkih veličina znatno je pojednostavljen ako Fermijeva razina leži u energetskom procjepu i znatno je udaljena od dna vodljivog pojasa Ec (Ec – EF) > k. T. Tada se u Fermi-Diracovoj distribuciji jedinica u nazivniku može zanemariti i prelazi na Maxwell-Boltzmannovu distribuciju klasične statistike. Ovo je slučaj nedegeneriranog poluvodiča
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Trodimenzionalni elektronički sustavi Funkcija distribucije gustoće stanja u vodljivom pojasu g(E), Fermi-Dirakova funkcija za tri temperature i Maxwell-Boltzmannova funkcija za trodimenzionalne elektronski plin. Pri T = 0 Fermi-Diracova funkcija ima oblik diskontinuirane funkcije. Za E EF funkcija je nula i odgovarajuća kvantna stanja su potpuno slobodna. Pri T > 0 Fermijeva funkcija. Dirac se razmazuje u blizini Fermijeve energije, gdje se brzo mijenja od 1 do 0 i ovaj razmaz je proporcionalan k. T, tj. što je viša temperatura, to je veća. (sl. 1. 4. Gurtov)
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Trodimenzionalni elektronički sustavi Koncentracija elektrona u vodljivom pojasu nalazi se zbrajanjem svih stanja. Imajte na umu da bismo kao gornju granicu u ovom integralu morali uzeti energija gornjeg ruba vodljivog pojasa. No budući da Fermi-Diracova funkcija za energije E >EF eksponencijalno brzo opada s povećanjem energije, zamjena gornje granice beskonačnošću ne mijenja vrijednost integrala. Zamjenom vrijednosti funkcija u integral dobivamo -efektivnu gustoću stanja u vodljivom pojasu
ELEKTRONIČKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Dvodimenzionalni elektronički sustavi Odredimo koncentraciju nositelja naboja u dvodimenzionalnom elektronskom plinu. Budući da je gustoća stanja dvodimenzionalnog elektronskog plina Dobivamo Ovdje se gornja granica integracije također uzima jednakom beskonačnosti, uzimajući u obzir oštru ovisnost Fermi-Diracove funkcije distribucije o energiji. Integriranje gdje
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKO DIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Dvodimenzionalni elektronički sustavi Za nedegenerirani elektronski plin, kada U slučaju ultratankih filmova, kada se može uzeti u obzir popunjavanje samo donjeg podpojasa Za jaka degeneracija elektronskog plina, kada je n 0 cijeli broj
ELEKTRONSKA SVOJSTVA NISKODIMENZIONALNIH SUSTAVA Statistika nositelja u niskodimenzionalnim strukturama Treba napomenuti da u sustavima kvantne veličine, zbog manje gustoće stanja, uvjet potpune degeneracije ne zahtijeva ekstremno visoke koncentracije ili niske temperature te je dosta često ostvaruju u eksperimentima. Na primjer, u n-Ga. Kako je kod N 2 D = 1012 cm-2, degeneracija će se dogoditi već na sobnoj temperaturi. U kvantnim nitima, integral za izračun, za razliku od dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih slučajeva, ne izračunava se analitički pri proizvoljnoj degeneraciji, a jednostavne formule mogu se napisati samo u graničnim slučajevima. U nedegeneriranom jednodimenzionalnom elektronskom plinu u slučaju ultratankih filamenata, kada je moguće uzeti u obzir punjenje samo najniže razine s energijom E 11 koncentracija elektrona gdje je jednodimenzionalna efektivna gustoća stanja
Kvantni sustav
Za objašnjenje mnogih svojstava mikročestica (fotona, elektrona itd.) potrebni su posebni zakoni i pristupi kvantne mehanike. Kvantna svojstva mikrosvijeta očituju se kroz svojstva makrosustava. Mikroobjekti čine određeni fizički sustav koji se naziva kvantni. Primjeri kvantnih sustava uključuju: fotonski plin, elektrone u metalima. Pod uvjetima kvantni sustav, kvantna čestica treba razumjeti materijalni objekt koji se opisuje posebnim aparatom kvantne mehanike.
Kvantna mehanika istražuje svojstva i fenomene svijeta mikročestica koje klasična mehanika ne može protumačiti. Takve značajke su npr. bile: čestično-valni dualitet, diskretnost i postojanje spinova. Metode klasične mehanike ne mogu opisati ponašanje čestica mikrosvijeta. Istovremena valna i korpuskularna svojstva mikročestice ne omogućuju određivanje stanja čestice s klasičnog gledišta.
Ova činjenica se odražava u Heisenbergovoj relaciji nesigurnosti ($1925):
gdje je $\trikut x$ pogreška u određivanju koordinate, $\trikut p$ je pogreška u određivanju količine gibanja mikročestice. Ovaj odnos se može napisati kao:
gdje je $\trikut E$ nesigurnost u vrijednosti energije, $\trikut t$ je nesigurnost u vremenu. Relacije (1) i (2) pokazuju da ako je jedna od veličina u tim relacijama određena s velikom točnošću, tada drugi parametar ima veliku pogrešku u određivanju. U tim odnosima $\hbar =1,05\cdot (10)^(-34)J\cdot s$. Dakle, stanje mikročestice u kvantnoj mehanici ne može se opisati koristeći istovremeno koordinate i moment, što je moguće u klasičnoj mehanici. Slična situacija vrijedi i za energiju u određenom trenutku. Stanja s određenom energetskom vrijednošću mogu se dobiti samo u stacionarnim slučajevima (odnosno u slučajevima koji nemaju točnu vremensku definiciju).
Imajući korpuskularna i istovremeno valna svojstva, mikročestica nema točnu koordinatu, već je „razmazana“ u određenom području prostora. Ako se u određenom području prostora nalaze dvije ili više čestica, nije ih moguće međusobno razlikovati jer je nemoguće pratiti kretanje svake. Iz navedenog proizlazi da su čestice u kvantnoj mehanici identične.
Neki parametri vezani uz mikročestice poprimaju diskretne vrijednosti koje klasična mehanika ne može objasniti. U skladu s odredbama i zakonima kvantne mehanike, osim energije sustava, kutna količina gibanja sustava može biti diskretna:
gdje je $l=0,1,2,\točkice $
spin može uzeti sljedeće vrijednosti:
gdje je $s=0,\ \frac(1)(2),\ 1,\ \frac(3)(2),\točke $
Projekcija magnetskog momenta na smjer vanjskog polja poprima sljedeće vrijednosti:
gdje je $m_z$ magnetski kvantni broj koji ima vrijednosti: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$
$(\mu )_B$ -- Bohrov magneton.
Kako bi se matematički opisala kvantna svojstva fizikalnih veličina, svakoj se veličini pridružuje operator. Dakle, u kvantnoj mehanici, fizičke veličine su predstavljene operatorima, a njihove vrijednosti su određene prosjekom svojstvenih vrijednosti operatora.
Stanje kvantnog sustava
Bilo koje stanje u kvantnom sustavu opisuje se pomoću valne funkcije. Međutim, ova funkcija predviđa parametre budućeg stanja sustava s određenim stupnjem vjerojatnosti, a ne pouzdano, što je temeljna razlika od klasične mehanike. Dakle, za parametre sustava valna funkcija određuje vjerojatnosne vrijednosti. Takva nesigurnost i netočnost predviđanja najviše je izazvala kontroverze među znanstvenicima.
Mjereni parametri kvantnog sustava
Najglobalnije razlike između klasične i kvantne mehanike leže u ulozi mjerenja parametara kvantnog sustava koji se proučava. Problem mjerenja u kvantnoj mehanici je u tome što pri pokušaju mjerenja parametara mikrosustava istraživač djeluje na sustav pomoću makrouređaja, čime se mijenja stanje samog kvantnog sustava. Dakle, kada pokušavamo precizno izmjeriti neki parametar mikroobjekta (koordinata, količina gibanja, energija), suočavamo se s činjenicom da sam proces mjerenja mijenja parametre koje pokušavamo izmjeriti i to značajno. Nemoguće je napraviti točna mjerenja u mikrokozmosu. Uvijek će biti pogrešaka prema principu nesigurnosti.
U kvantnoj mehanici dinamičke varijable su predstavljene operatorima, pa nema smisla govoriti o numeričkim vrijednostima, budući da operator određuje djelovanje na vektor stanja. Rezultat je također predstavljen kao vektor Hilbertovog prostora, a ne broj.
Napomena 1
Samo ako je vektor stanja svojstveni vektor operatora dinamičke varijable, tada se njegovo djelovanje na vektor može svesti na množenje brojem bez promjene stanja. U ovom slučaju, operator dinamičke varijable može se pridružiti jednom broju koji je jednak svojstvenoj vrijednosti operatora. U ovom slučaju možemo pretpostaviti da dinamička varijabla ima određenu numeričku vrijednost. Tada dinamička varijabla ima kvantitativnu vrijednost neovisnu o mjerenju.
U slučaju da vektor stanja nije svojstveni vektor operatora dinamičke varijable, tada rezultat mjerenja ne postaje jednoznačan i oni govore samo o vjerojatnosti pojedine vrijednosti dobivene u mjerenju.
Rezultati teorije, koji su empirijski provjerljivi, jesu vjerojatnost dobivanja dinamičke varijable u mjerenju s velikim brojem mjerenja za isti vektor stanja.
Glavna karakteristika kvantnog sustava je valna funkcija koju je uveo M. Born. Fizičko značenje najčešće se ne određuje za samu valnu funkciju, već za kvadrat njezina modula, koji određuje vjerojatnost da se kvantni sustav nalazi u danoj točki prostora u danoj točki vremena. Osnova mikrosvijeta je vjerojatnost. Osim poznavanja valne funkcije, za opisivanje kvantnog sustava potrebne su informacije o drugim parametrima, primjerice o parametrima polja s kojim sustav stupa u interakciju.
Procesi koji se odvijaju u mikrokozmosu leže izvan granica ljudske osjetilne percepcije. Posljedično, koncepti i fenomeni koje koristi kvantna mehanika su lišeni jasnoće.
Primjer 1
Vježba: Koja je minimalna pogreška s kojom se može odrediti brzina elektrona i protona ako su koordinate čestica poznate s nesigurnošću od $1$ µm.
Riješenje:
Kao temelj za rješavanje problema koristimo Heisenbergovu relaciju nesigurnosti u obliku:
\[\trokut p_x\trokut x\ge \hbar \lijevo(1.1\desno),\]
gdje je $\trikut x$ nesigurnost koordinate, $\trikut p_x$ je nesigurnost projekcije količine gibanja čestice na os X. Veličina nesigurnosti količine gibanja može se izraziti kao:
\[\trokut p_x=m\trokut v_x\lijevo(1,2\desno).\]
Zamjenom desne strane izraza (1.2) umjesto nesigurnosti projekcije momenta u izraz (1.1), imamo:
Iz formule (1.3) izražavamo željenu nesigurnost brzine:
\[\trokut v_x\ge \frac(\hbar )(m\trokut x)\lijevo(1,4\desno).\]
Iz nejednadžbe (1.4) slijedi da je minimalna pogreška u određivanju brzine čestice jednaka:
\[\trokut v_x=\frac(\hbar )(m\trokut x).\]
Znajući masu elektrona $m_e=9,1\cdot (10)^(-31)kg,$ izvršimo izračune:
\[\trokut v_(ex)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(9,1\cdot (10)^(-31)\cdot (10)^(-6) )=1,1\ cdot (10)^2(\frac(m)(s)).\]
masa protona jednaka $m_p=1,67\cdot (10)^(-27)kg$, izračunajmo pogrešku u mjerenju brzine protona u zadanim uvjetima:
\[\trokut v_(px)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(1,67\cdot (10)^(-27)\cdot (10)^(-6) )=0,628\ cdot (10)^(-1)(\frac(m)(s)).\]
Odgovor:$\trokut v_(ex)=1,1\cdot (10)^2\frac(m)(s),$ $\trokut v_(px)=0,628\cdot (10)^(-1)\frac( m) (s).$
Primjer 2
Vježba: Kolika je najmanja pogreška u mjerenju kinetičke energije elektrona ako se on nalazi u području veličine l.
Riješenje:
Kao temelj za rješavanje problema koristimo Heisenbergovu relaciju nesigurnosti u obliku:
\[\trokut p_xl\ge \hbar \do \trokut p_x\ge \frac(\hbar )(l)\lijevo(2.1\desno).\]
Iz nejednadžbe (2.1) slijedi da je minimalna pogreška impulsa jednaka:
\[\trokut p_x=\frac(\hbar )(l)\lijevo(2,2\desno).\]
Greška kinetičke energije može se izraziti kao:
\[\trokut E_k=\frac((\lijevo(\trokut p_x\desno))^2)(2m)=\frac((\lijevo(\hbar \desno))^2)((\lijevo(l\ desno))^22\cdot m_e).\]
Odgovor:$\trokut E_k=\frac((\lijevo(\hbar \desno))^2)((\lijevo(l\desno))^22\cdot m_e).$
A.G. Akmanov, B.G. Šakirov
Osnove kvantnih i optoelektroničkih uređaja
UDK 621.378.1+621.383.4
Recenzenti
Zavod za telekomunikacijske sustave, UGATU
Malikov R.F., Doktor fizikalno-matematičkih znanosti,
profesor BSPU
Protokol br. 24 od 24. lipnja 2003. Plenum Vijeća UMO za obrazovanje u
polju telekomunikacija.
Akmanov A.G., Shakirov B.G.
A40 Osnove kvantnih i optoelektroničkih uređaja. Tutorial.
Ufa: RIO BashGU, 2003. - 129 str.
Ovo djelo je udžbenik iz disciplina “Optoelektroničke i kvantne naprave i uređaji”, “Kvantna radiofizika” u specijalnostima “Fizika i optička komunikacijska tehnologija” i “Radiofizika i elektronika”.
Razmatraju se fizikalne osnove, principi rada i karakteristike krutih, plinskih i poluvodičkih lasera te pitanja upravljanja njihovim parametrima. Prikazane su fizikalne osnove i karakteristike elemenata optoelektroničkih uređaja.
UDK 621.378.1 + 621.383.4
Akmanov A.G., Shakirov B.G., 2003
ã Baškirsko državno sveučilište, 2003
UVOD
Kvantna elektronika kao područje znanosti i tehnologije shvaća se kao znanost koja proučava teoriju i metode generiranja i pojačavanja elektromagnetskih valova induciranim zračenjem u termodinamički neravnotežnim kvantnim sustavima (atomi, molekule, ioni), svojstva generatora i pojačala na taj način. dobivene i njihove primjene.
Osnova kvantne elektronike su fizikalni principi koje je još 1916. godine formulirao A. Einstein, teorijski predvidivši postojanje stimuliranog zračenja i istaknuvši njegovo posebno svojstvo - koherentnost pogonskom zračenju.
Mogućnost stvaranja kvantnih uređaja potkrijepljena je ranih 50-ih godina. Godine 1954., molekularni kvantni generatori (ili maseri1) mikrovalnog raspona razvijeni su na Fizičkom institutu Akademije znanosti SSSR-a (Prokhorov A.M., Basov N., G.) i na Sveučilištu Columbia (Townes Ch.). Sljedeći korak, prirodan za razvoj kvantne elektronike, napravljen je prema stvaranju kvantnih uređaja u optičkom području. Teoretsko opravdanje ove mogućnosti (Townes Ch., Shavlov A., 1958), prijedlog otvorenog rezonatora kao oscilatornog sustava u optičkom području (Prokhorov A.M., 1958) potaknuli su eksperimentalna istraživanja. Godine 1960. stvoren je laser 1 na rubinu (Meiman T., SAD), 1961. - laser na mješavini helija s neonom (Dzhavan A., SAD), a 1962. - prvi poluvodički laseri (SAD, SSSR).
Optoelektronika (OE) je područje znanosti i tehnologije povezano s razvojem i primjenom elektrooptičkih uređaja i sustava za prijenos, primanje, obradu, pohranu i prikaz informacija.
Ovisno o prirodi optičkog signala, razlikujemo koherentnu i nekoherentnu optoelektroniku. Koherentni OE temelji se na korištenju izvora laserskog zračenja. Nekoherentni OE uključuje diskretne i matrične nekoherentne emitere i indikatorske uređaje izgrađene na njihovoj osnovi, kao i fotodetektori, optokaplere, optokaplerske integrirane krugove itd.
Lasersko zračenje ima sljedeća svojstva:
1. Vremenska i prostorna koherentnost. Vrijeme koherencije može biti do 10 -3 s, što odgovara duljini koherencije reda veličine 10 5 m (l koherencija =c koherencija), t.j. sedam redova veličine više nego za konvencionalne izvore svjetlosti.
2. Strogi monokromatski (<10 -11 м).
3. Visoka gustoća toka energije.
4. Vrlo mala kutna divergencija u mediju.
Učinkovitost lasera jako varira - od 0,01% (za helij-neonski laser) do 75% (za poluvodički laser), iako je za većinu lasera učinkovitost 0,1-1%.
Neobična svojstva laserskog zračenja danas se široko koriste. Korištenje lasera za obradu, rezanje i mikrozavarivanje čvrstih materijala pokazalo se ekonomski isplativijim. Laseri se koriste za brzu i točnu detekciju nedostataka proizvoda, za najfinije operacije (primjerice CO 2 laserska zraka kao beskrvni kirurški nož), za proučavanje mehanizma kemijskih reakcija i utjecaja na njihov tijek, za dobivanje ultra čistih tvari. Jedna od važnih primjena lasera je proizvodnja i proučavanje visokotemperaturne plazme. Ovo područje njihove primjene povezano je s razvojem novog smjera - laserski kontrolirane termonuklearne fuzije. Laseri se široko koriste u mjernoj tehnologiji. Laserski interferometri koriste se za ultraprecizna daljinska mjerenja linearnih pomaka, indeksa loma medija, tlaka i temperature.
Izvori laserskog zračenja postali su rašireni u komunikacijskoj tehnologiji.
FIZIKALNE OSNOVE LASERA
Pojačanje svjetlosnog vala u laserima temelji se na pojavi inducirane emisije fotona pobuđenom česticom tvari (atoma, molekule). Da bi stimulirana emisija imala glavnu ulogu, potrebno je radnu tvar (medij za pojačavanje) prevesti iz ravnotežnog stanja u neravnotežno stanje, u kojem se stvara inverzija naseljenosti energetskih razina.
Kao oscilirajući sustav u laserima koristi se takozvani otvoreni rezonator, koji je sustav dvaju zrcala visoke refleksije. Kada se između njih postavi radna tvar, stvara se uvjet za višestruki prolaz pojačanog zračenja kroz aktivni medij, čime se ostvaruje pozitivna povratna sprega.
Proces pobuđivanja aktivnog medija kako bi se u njemu stvorila inverzija naseljenosti naziva se pumpanje, a fizički sustav koji osigurava taj proces naziva se pumpni sustav.
Dakle, u strukturnom dijagramu bilo kojeg tipa lasera mogu se razlikovati tri glavna elementa: aktivni medij, sustav pumpe i otvoreni rezonator.
U skladu s tim, u I. poglavlju prikazane su osnove teorije kvantnog pojačanja i generiranja tijekom interakcije svjetlosnog zračenja s materijom, metode pumpanja i teorija otvorenog rezonatora.
Optičko zračenje
Optičko zračenje ili svjetlost su elektromagnetski valovi čije se valne duljine kreću od nekoliko nanometara do stotina mikrometara. Osim vidljivog zračenja koje percipira ljudsko oko ( l=0,38-0,76 mikrona), razlikuju ultraljubičasto ( l=0,01-0,38 mikrona) i infracrveno ( l=0,78-100 µm) zračenje.
Podsjetimo se na neke odredbe i formule valne i kvantne optike. Valna optika temelji se na jednadžbama klasične elektrodinamike, koje se temelje na Maxwellovim jednadžbama:
[ E]=trulež E= 
[ H]=trulež H= 
(1.1) gdje je E, D, H, B su vektori intenziteta i indukcije električnog i magnetskog polja (sustav (1.1) je napisan za slučaj odsutnosti struja i naboja u mediju). U homogenoj izotropnoj sredini D I B povezana s poljima E I H omjeri (u SI sustavu):
D=ε 0 e E, B=μ 0 m H,(1.2) gdje je e– relativni dielektrik, m- relativna magnetska permeabilnost medija, e 0– električni, m 0– magnetske konstante. Sustav (1.1) svodi se na valnu jednadžbu za
(ili ): 
(1.3) Jednadžba (1.3) ima rješenje 
, (1.4) koji opisuje ravni val koji se širi u smjeru određenom valnim vektorom s faznom brzinom:
(1.5)
Gdje c=- brzina svjetlosti u vakuumu. Za nemagnetsko okruženje m=1, n= a za brzinu vala dobivamo: (1.5a)
Volumetrijska gustoća energije koju prenosi elektromagnetski val dana je formulom: r=(1/2)ε 0 eE2+ (1/2)μ 0 mH2= ε 0 eE2. (1.6)
Spektralna volumetrijska gustoća energije r n određuje se relacijom: (1.7)
Modul Umov-Poyntingovog vektora 
(1.8)
određuje gustoću toka svjetlosne energije, .
Intenzitet svjetlosti odnosi se na vremenski prosječni tok energije (1.9)
Procesi apsorpcije i emisije svjetlosti mogu se objasniti samo u okviru kvantne optike, koja promatra optičko zračenje u obliku toka elementarnih čestica - fotona, koji nemaju masu mirovanja i električni naboj, ali imaju energiju Ef =hn, impuls p= h k i kreće se brzinom svjetlosti.
Gustoća toka fotona F=I/(hn)=ru/(hn)(1.10)
Gdje [ hn]=J, [ F]=1/(m 2 s).
Energetska stanja kvantnog sustava. Populacije kvantnih razina
Najvažnije svojstvo kvantnih sustava (skup atoma, molekula) je da njihova unutarnja energija može poprimiti samo diskretne vrijednosti E 1 ,E 2 ,..E n y određena rješenjima odgovarajućih Schrödingerovih jednadžbi. Skup mogućih energetskih razina za određeni kvantni sustav naziva se energetski spektar. Na dijagramu energetske razine energija se izražava u džulima, inverznim centimetrima ili elektronvoltima. Stanje s najnižom energijom, koje je najstabilnije, naziva se osnovnim stanjem. Sva ostala stanja, koja odgovaraju visokoj energiji, zovu se pobuđena.
Općenito, može se zamisliti da nekoliko različitih pobuđenih stanja karakterizira ista vrijednost unutarnje energije. U tom slučaju se kaže da su stanja degenerirana, a stupanj degeneracije (ili statistička težina razine g i.) jednak je broju stanja.
Razmotrimo makrosustav koji se sastoji od N 0 identični slabo međusobno djelujući mikrosustavi (atomi) koji posjeduju određeni spektar energetskih razina. Takav makrosustav je laserski aktivni medij.
Broj atoma po jedinici volumena koji se nalazi na određenoj energetskoj razini ja, naziva se stanovništvo ove razine N i . Distribucija naseljenosti među razinama pod uvjetima termodinamičke ravnoteže pokorava se Boltzmannovoj statistici:
(1.11)
Gdje T– apsolutna temperatura, k– Boltzmannova konstanta, g i– višestrukost degeneracije razine, 
, Gdje E i - energije ja-ta kvantna razina. Iz (1.11) slijedi da je, tj. zbroj naseljenosti svih energetskih razina jednak je broju čestica N 0 u ansamblu koji se razmatra.
U skladu s (1.11), u osnovnom stanju s energijom E 1 u termodinamičkoj ravnoteži postoji najveći broj atoma, a naseljenost gornjih razina smanjuje se s povećanjem energije razine (slika 1.1). Omjer populacija dviju razina u ravnotežnom stanju dan je formulom: 
(1.12)
Za jednostavne nedegenerirane razine g 1 = g 2 =1 a formula (1.12) ima oblik: 
(1.12a)
Trenutačan prijelaz s razine poput skoka E i po razini E j naziva kvantni prijelaz. Na E i >E j kvantni sustav oslobađa energiju jednaku ( E i -E j), i kada E i <E j- upija ga. Kvantni prijelaz koji uključuje emisiju ili apsorpciju fotona naziva se optički. Energija emitiranog (apsorbiranog) fotona određena je Bohrovom relacijom:
hn ij = E i -E j (1.13)
1.3 Elementarni procesi interakcije
optičko zračenje s materijom
Razmotrimo detaljnije kvantne prijelaze koji se mogu dogoditi između dviju proizvoljno odabranih energetskih razina, na primjer 1 i 2 (sl. 1.2), koje odgovaraju energiji E 1 I E 2 i stanovništva N 1 I N 2.
|
|
|
|
|
|
 |  |
||||
 |
|||||
Riža. 1.2 . Kvantni prijelazi u dvorazinskom sustavu.
Moguća su tri tipa optičkih prijelaza: spontano,prisiljen s apsorpcijom I forsiran zračenjem.
Uvedimo kvantitativne karakteristike za te probabilističke procese, kao što je prvi učinio A. Einstein.
Spontani prijelazi
Ako se atom (ili molekula) nalazi u stanju 2 u trenutku t=0, tada postoji konačna vjerojatnost da će prijeći u stanje 1, emitirajući kvant svjetlosti (foton) s energijom hn 21 =(E 2 -E 1)(Slika 1.2a). Taj se proces, koji se odvija bez interakcije s poljem zračenja, naziva spontani prijelaz, a pripadajuće zračenje je spontana emisija. Vjerojatnost spontanih prijelaza proporcionalna je vremenu, tj. (dw 21) sp =A 21 dt, (1.14)
Gdje A 21 –Einsteinov koeficijent za spontanu emisiju i određuje vjerojatnost prijelaza po jedinici vremena, =1/c.
Pretpostavimo da u trenutku vremena t Populacija razine 2 je N 2. Brzina prijelaza tih atoma na nižu razinu uslijed spontanog zračenja proporcionalna je vjerojatnosti prijelaza A 21 i stanovništvo razine s koje se prijelaz događa, tj.
(dN 2 /dt) cn = -A 21 N 2.(1.15)
Iz kvantne mehanike proizlazi da se spontani prijelazi iz danog stanja događaju samo u stanja niže energije, tj. Nema spontanih prijelaza iz stanja 1 u stanje 2.
Prisilni prijelazi
Razmotrimo interakciju skupine identičnih atoma s poljem zračenja, čija je gustoća energije ravnomjerno raspoređena po frekvencijama blizu frekvencije prijelaza. Kada je atom izložen elektromagnetskom zračenju rezonantne frekvencije ( n=ν 21 =(E2-E1)/h) postoji konačna vjerojatnost da će atom prijeći iz stanja 1 u gornju razinu 2, dok apsorbira kvant elektromagnetskog polja (foton) s energijom hn(Slika 1.2b).
Energetska razlika (E 2 -E 1) potrebna atomu za takav prijelaz uzima se iz energije upadnog vala. Ovo je proces preuzimanja, koji se može opisati pomoću jednadžbe brzine (dN 1 /dt) p =W 12 N 1 =r n B 12 N 1,(1.16)
Gdje N 1– populacija razine 1, W 12 = r v B 12– vjerojatnost apsorpcije po jedinici vremena, r v – spektralna volumetrijska gustoća energije upadnog zračenja, U 12– Einsteinov koeficijent za apsorpciju.
Također se koristi još jedan izraz za vjerojatnost W 12 kao:
W 12 = s 12 F,(1.17)
Gdje F– gustoća toka upadnih fotona, s 12– količina tzv presjek apsorpcije, = m 2.
Pretpostavimo sada da je atom inicijalno na gornjoj razini 2 i val s frekvencijom od n=n 21. Tada postoji konačna vjerojatnost da taj val inicira prijelaz atoma s razine 2 na razinu 1. U ovom slučaju razlika energije (E 2 -E 1)će se osloboditi u obliku elektromagnetskog vala, koji će dodati energiji upadnog vala. Ovo je taj fenomen prisilno (inducirano) zračenje.
Proces stimulirane emisije može se opisati pomoću jednadžbe brzine: (dN 2 /dt) uklonjen =W 21 N 2 =r n B 21 N 2,(1.18)
Gdje N 2– populacija razine 2, W 21 =r v B 21– vjerojatnost prisilnog prijelaza po jedinici vremena, B 21 -Einsteinov koeficijent za prisilni prijelaz. I u ovom slučaju za vjerojatnost prijelaza vrijedi sljedeća relacija: W 21 = s 21 F,(1.19)
Gdje s 21– presjek stimulirane emisije za prijelaz 2→1.
Postoji temeljna razlika između procesa spontane i stimulirane emisije. Vjerojatnosti induciranih prijelaza proporcionalne su spektralnoj gustoći volumena elektromagnetskog polja, dok vjerojatnosti spontanih prijelaza ne ovise o vanjskom polju. U slučaju spontane emisije, atom emitira elektromagnetski val, čija faza nema specifičan odnos s fazom vala koji emitira drugi atom. Štoviše, emitirani val može imati bilo koji smjer širenja.
U slučaju stimulirane emisije, budući da je proces iniciran upadnim valom, zračenje bilo kojeg atoma dodaje se tom valu u istoj fazi. Upadni val također određuje polarizaciju i smjer širenja emitiranog vala. Dakle, povećanjem broja prisilnih prijelaza raste i intenzitet vala, a njegova frekvencija, faza, polarizacija i smjer širenja ostaju nepromijenjeni. Drugim riječima, u procesu prisilnih prijelaza iz države E 2 u stanju E 1 događa se koherentno pojačanje elektromagnetskog zračenja na frekvenciji n21 =(E2-E1)/h. Naravno, javljaju se i obrnuti prijelazi. E 1 ® E 2 uz apsorpciju elektromagnetskog zračenja.
Spontana emisija
Integriranje izraza (1.15) tijekom vremena s početnim uvjetom N2 (t=0)=N20 dobivamo: N2(t)=N20exp(-A21t).(1.20)
Snaga spontane emisije nalazi se množenjem energije fotona hν 21 brojem spontanih prijelaza u jedinici vremena:
P sp =hν 21 A 21 N 2 (t)V=P sp 0 exp(-A 21 t)(1.21)
Gdje P sp 0 =hn 21 A 21 N 20 V, V – volumen aktivnog medija.
Predstavimo koncept o prosječnom životnom vijeku atoma u pobuđenom stanju u odnosu na spontane prijelaze. U dvorazinskom sustavu koji razmatramo, atomi koji napuste pobuđeno stanje 2 u vremenu od t prije t+Dt, očito, bili u ovom stanju dugo vremena t. Broj takvih atoma je jednak N 2 A 21 Dt. Tada je njihov prosječni životni vijek u pobuđenom stanju određen omjerom:
Predstavimo formulu (1.22) u obliku:
(1.21 a)
Veličina t sp može se pronaći eksperimentalno, budući da se pojavljuje kao parametar u zakonu opadanja spontane luminescencije, određenom formulom (1.21 a).
Povezane informacije.
Kvantni sustavi i njihova svojstva.
Raspodjela vjerojatnosti po energijama u prostoru.
Bozonska statistika. Fermi-Einsteinova distribucija.
Fermionska statistika. Fermi-Diracova distribucija.
Kvantni sustavi i njihova svojstva
U klasičnoj statistici pretpostavlja se da se čestice koje čine sustav pokoravaju zakonima klasične mehanike. Ali za mnoge fenomene potrebno je koristiti kvantnu mehaniku pri opisivanju mikroobjekata. Ako se sustav sastoji od čestica koje se pokoravaju kvantnoj mehanici, tada ćemo ga nazvati kvantnim sustavom.
Temeljne razlike između klasičnog sustava i kvantnog sustava uključuju:
1) Valno-čestični dualitet mikročestica.
2) Diskretnost fizikalnih veličina koje opisuju mikroobjekte.
3) Spinska svojstva mikročestica.
Iz prvog proizlazi da je nemoguće precizno odrediti sve parametre sustava koji određuju njegovo stanje s klasičnog gledišta. Ova činjenica se odražava u Heisendbergovoj relaciji nesigurnosti:
Kako bi se matematički opisala ova svojstva mikroobjekata u kvantnoj fizici, količina je povezana s linearnim Hermitskim operatorom koji djeluje na valnu funkciju.
Svojstvene vrijednosti operatora određuju moguće numeričke vrijednosti ove fizičke veličine, čiji se prosjek podudara s vrijednošću same količine.
Budući da se momenti i koeficijenti mikročestica sustava ne mogu mjeriti istovremeno, valna funkcija se prikazuje ili kao funkcija koordinata:
Ili, kao funkcija impulsa:
Kvadrat modula valne funkcije određuje vjerojatnost otkrivanja mikročestice po jedinici volumena:
Valna funkcija koja opisuje određeni sustav nalazi se kao svojstvena funkcija Hameltonovog operatora:
Stacionarna Schrödingerova jednadžba.
Nestacionarna Schrödingerova jednadžba.
U mikrokozmosu djeluje princip nerazlučivosti mikročestica.
Ako valna funkcija zadovoljava Schrödingerovu jednadžbu, tada i funkcija zadovoljava ovu jednadžbu. Stanje sustava se neće promijeniti kada se 2 čestice preurede.
Neka je prva čestica u stanju a, a druga u stanju b.
Opisuje se stanje sustava:
Ako su čestice zamijenjene, tada: budući da kretanje čestice ne bi trebalo utjecati na ponašanje sustava.
Ova jednadžba ima 2 rješenja:
Pokazalo se da je prva funkcija implementirana za čestice s cijelim spinom, a druga s polucijelim spinom.
U prvom slučaju 2 čestice mogu biti u istom stanju:
U drugom slučaju:
Čestice prve vrste nazivamo spin-integer bozoni), čestice druge vrste femioni (za njih vrijedi Paulijev princip).
Fermioni: elektroni, protoni, neutroni...
Bozoni: fotoni, deuteroni...
Fermioni i bozoni podliježu neklasičnoj statistici. Da bismo vidjeli razlike, izbrojimo broj mogućih stanja sustava koji se sastoji od dvije čestice s istom energijom u dvije ćelije u faznom prostoru.
1) Klasične čestice su različite. Moguće je pratiti svaku česticu pojedinačno.
Klasične čestice.
U prvom i drugom dijelu udžbenika polazilo se od pretpostavke da se čestice koje čine makroskopske sustave pokoravaju zakonima klasične mehanike. Međutim, pokazalo se da se za objašnjenje mnogih svojstava mikroobjekata, umjesto klasične mehanike, moramo koristiti kvantnom mehanikom. Svojstva čestica (elektrona, fotona itd.) u kvantnoj mehanici kvalitativno se razlikuju od uobičajenih klasičnih svojstava čestica. Kvantna svojstva mikroobjekata koji čine određeni fizikalni sustav očituju se i u svojstvima makroskopskog sustava.
Kao takve kvantne sustave smatrat ćemo elektrone u metalu, fotonski plin itd. U nastavku ćemo pod riječju kvantni sustav ili čestica razumjeti određeni materijalni objekt opisan aparatom kvantne mehanike.
Kvantna mehanika opisuje svojstva i značajke svojstvene česticama mikrosvijeta, koje često ne možemo objasniti na temelju klasičnih koncepata. Takve značajke uključuju, na primjer, čestično-valni dualizam mikroobjekata u kvantnoj mehanici, otkriven i potvrđen brojnim eksperimentalnim činjenicama, diskretnost različitih fizikalnih parametara, svojstva "spin" itd.
Posebna svojstva mikroobjekata ne dopuštaju da se njihovo ponašanje opiše konvencionalnim metodama klasične mehanike. Na primjer, prisutnost mikročestice koja u isto vrijeme pokazuje i valna i korpuskularna svojstva
ne dopušta istovremeno precizno mjerenje svih parametara koji određuju stanje čestice s klasičnog gledišta.
Ta se činjenica ogleda u takozvanoj relaciji nesigurnosti, koju je 1925. otkrio Heisenberg, a koja se sastoji u činjenici da su netočnosti u određivanju koordinate i količine gibanja mikročestice povezane relacijom:
Posljedica ovog odnosa je niz drugih odnosa između različitih parametara, a posebno:
gdje je neizvjesnost u vrijednosti energije sustava i nesigurnost u vremenu.
Oba gornja odnosa pokazuju da ako je jedna od veličina određena s velikom točnošću, onda se druga veličina pokazuje kao određena s niskom točnošću. Netočnosti se ovdje određuju pomoću Planckove konstante, koja praktički ne ograničava točnost mjerenja različitih veličina za makroskopske objekte. Ali za mikročestice niske energije, male veličine i momenta, točnost istovremenog mjerenja navedenih parametara više nije dovoljna.
Dakle, stanje mikročestice u kvantnoj mehanici ne može se istovremeno opisati koordinatama i momentima, kao što se to radi u klasičnoj mehanici (Hamiltonove kanonske jednadžbe). Isto tako, ne možemo govoriti o vrijednosti energije čestice u određenom trenutku. Stanja s određenom energijom mogu se dobiti samo u stacionarnim slučajevima, tj. nisu vremenski točno definirana.
Posjedujući korpuskularno-valna svojstva, bilo koja mikročestica nema apsolutno točno definiranu koordinatu, već izgleda kao da je "razmazana" po prostoru. Ako postoji određeno područje prostora od dvije ili više čestica, ne možemo ih razlikovati jedne od drugih, jer ne možemo pratiti kretanje svake od njih. To implicira temeljnu nerazlučivost ili istovjetnost čestica u kvantnoj mehanici.
Nadalje, pokazuje se da se veličine koje karakteriziraju neke parametre mikročestica mogu mijenjati samo u određenim dijelovima, kvantima, odakle i potječe naziv kvantna mehanika. Ova diskretnost mnogih parametara koji određuju stanja mikročestica također se ne mogu opisati u klasičnoj fizici.
Prema kvantnoj mehanici, osim energije sustava, diskretne vrijednosti mogu poprimiti kutnu količinu gibanja sustava ili spin, magnetski moment i njihove projekcije na bilo koji odabrani smjer. Dakle, kvadrat kutne količine gibanja može poprimiti samo sljedeće vrijednosti:
Spin može uzimati samo vrijednosti
gdje bi to moglo biti
Projekcija magnetskog momenta na smjer vanjskog polja može poprimiti vrijednosti
gdje je Bohrov magneton i magnetski kvantni broj, uzimajući vrijednost:
Kako bi se matematički opisala ova svojstva fizikalnih veličina, svaka fizikalna veličina morala je biti povezana s određenim operatorom. U kvantnoj mehanici, dakle, fizikalne veličine su predstavljene operatorima, a njihove vrijednosti su određene kao prosjeci nad svojstvenim vrijednostima operatora.
Pri opisivanju svojstava mikroobjekata bilo je potrebno, uz svojstva i parametre koji se susreću u klasičnom opisu mikročestica, uvesti i nove, čisto kvantne parametre i svojstva. To uključuje "spin" čestice, koji karakterizira njezin vlastiti kutni moment, "interakciju razmjene", Paulijev princip itd.
Ove značajke mikročestica ne dopuštaju da ih se opiše klasičnom mehanikom. Kao rezultat toga, mikroobjekti su opisani kvantnom mehanikom, koja uzima u obzir navedene značajke i svojstva mikročestica.
