Graficul funcțieiy = topor 2 + n .

Explicaţie.

y = 2X 2 + 4.
y = 2X 2, mută patru unități în sus pe axă y. Desigur, în acest caz, toate valorile y crește în mod natural cu 4.

Iată tabelul cu valorile funcției y = 2X 2:

X
y

Și aici este tabelul cu valori y = 2X 2 + 4:

X
y

Vedem din tabel că vârful parabolei celei de-a doua funcție este cu 4 unități mai mare decât vârful primei parabole (coordonatele sale sunt 0;4). Și valorile y a doua functie are inca 4 valori y prima functie.

Graficul funcțieiy = A(X – m) 2 .

Explicaţie.

De exemplu, trebuie să trasați o funcție y = 2 (X – 6) 2 .
Aceasta înseamnă că parabola, care este graficul funcției y = 2X 2, se deplasează șase unități la dreapta de-a lungul axei X(pe grafic - parabolă roșie).

Graficul funcțieiy = A(X – m) 2 + n.

Cele două funcții ne conduc la a treia funcție: y = A(X – m) 2 + n.

Explicaţie:

De exemplu, trebuie să trasați o funcție y = 2 (X – 6) 2 + 2.
Aceasta înseamnă că parabola, care este graficul funcției y = 2X 2, se deplasează cu 6 unități la dreapta (valoarea m) și cu 2 unități în sus (valoarea n). Parabola roșie de pe grafic este rezultatul acestor mișcări.

1. Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia;

2. Transformări:

transfer paralel;

Simetrie asupra axelor de coordonate;

Simetrie cu privire la origine;

Simetria cu privire la dreapta y = x;

Întindere și micșorare de-a lungul axelor de coordonate.

3. O funcție exponențială, proprietățile și graficul acesteia, transformări similare;

4. Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia;

5. Funcția trigonometrică, proprietățile și graficul acesteia, transformări similare (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Funcția: y = x\n - proprietățile și graficul acesteia.

Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x etc. Toate aceste funcții sunt cazuri speciale ale funcției de putere, adică funcția y = xp, unde p este un număr real dat.
Proprietățile și graficul unei funcții de putere depind în esență de proprietățile unei puteri cu un exponent real și, în special, de valorile pentru care XȘi p are sens xp. Să trecem la o analiză similară a diferitelor cazuri, în funcție de
exponent p.

1. Index p = 2n este un număr natural par.

y=x2n, Unde n este un număr natural și are următoarele proprietăți:

• domeniul de definiție este toate numerele reale, adică mulțimea R;
• set de valori - numere nenegative, adică y este mai mare sau egal cu 0;
• funcţie y=x2n chiar, pentru că x 2n = (-x) 2n
• funcția este în scădere pe interval X< 0 și crescând pe interval x > 0.

Graficul funcției y=x2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul unei funcții y=x4.

2. Indicator p = 2n - 1- număr natural impar

În acest caz, funcția de putere y=x2n-1, unde este un număr natural, are următoarele proprietăți:

• domeniul definirii - multimea R;
• set de valori - set R;
• funcţie y=x2n-1 ciudat pentru că (- x) 2n-1= x2n-1;
• funcția este în creștere pe toată axa reală.

Graficul funcției y=x2n-1 y=x3.

3. Indicator p=-2n, Unde n- numar natural.

În acest caz, funcția de putere y=x-2n=1/x2n are urmatoarele proprietati:

• set de valori - numere pozitive y>0;
• funcția y = 1/x2n chiar, pentru că 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• funcția crește pe intervalul x0.

Graficul funcției y = 1/x2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1/x2.

4. Indicator p = -(2n-1), Unde n- numar natural.
În acest caz, funcția de putere y=x-(2n-1) are urmatoarele proprietati:

• domeniul de definiție este mulțimea R, cu excepția x = 0;
• set de valori - set R, cu excepția y = 0;
• funcţie y=x-(2n-1) ciudat pentru că (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• funcția este descrescătoare pe intervale X< 0 Și x > 0.

Graficul funcției y=x-(2n-1) are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1/x3.

Funcția y \u003d x2n, unde n aparține mulțimii de numere întregi pozitive. O funcție de putere de acest fel are un exponent pozitiv par a=2n. Deoarece întotdeauna x2n=(-x)2n, graficele tuturor acestor funcții sunt simetrice față de axa y. Toate funcțiile de forma y = x2n, n aparțin mulțimii numerelor întregi pozitive au următoarele proprietăți identice: X=R X? =(-?;?) Y=Proprietățile funcției arcsin

1. [Edit] Obținerea funcției arcsin

Dată o funcție De-a lungul ei domenii se întâmplă să fie monoton pe bucati, și de aici corespondența inversă nu este o funcție. Prin urmare, luăm în considerare intervalul pe care crește strict și ia toate valorile intervale- . Deoarece pentru o funcție pe interval, fiecare valoare a argumentului corespunde unei singure valori a funcției, atunci pe acest segment există funcție inversă al cărui grafic este simetric cu graficul unei funcții pe un segment în raport cu o dreaptă

Pe domeniul funcției de putere y = x p sunt valabile următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0 , atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este constantă, egală cu unu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, ... .

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversă față de ea însăși: x = y
pentru n ≠ 1, funcția inversă este o rădăcină de grad n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural par n = 2, 4, 6, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ... .

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
pentru x ≤ 0 scade monoton
pentru x ≥ 0 crește monoton
Extreme: minim, x=0, y=0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 2, rădăcină pătrată:
pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcție de putere cu exponent negativ întreg, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... . Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .

Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ... .

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -1,
pentru n< -2 ,

Exponent par, n = -2, -4, -6, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ... .

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -2,
pentru n< -2 ,

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile x pozitive cât și negative. Luați în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.

p este negativ, p< 0

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ... ) mai mic decât zero: .

Grafice ale funcțiilor exponențiale cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Iată proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional , unde n = -1, -3, -5, ... este un întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un număr întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar .

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numător impar, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Valori multiple: -∞ < y < +∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вниз
pentru x > 0 : convex în sus
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 2, 4, 6, ...

Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional , fiind în 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Valori multiple: 0 ≤ y< +∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно убывает
pentru x > 0 : crescător monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în sus la x ≠ 0
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn: pentru x ≠ 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Exponentul p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 5, 7, 9, ... este un număr natural impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 4, 6, 8, ...

Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 4, 6, 8, ... este un număr natural par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 монотонно убывает
pentru x > 0 crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu cele ale unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Funcția de putere cu exponent irațional

Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p . Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele considerate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x. Pentru valorile pozitive ale argumentului, proprietățile depind numai de valoarea exponentului p și nu depind de dacă p este întreg, rațional sau irațional.

y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Funcția de putere cu p. negativ< 0

Domeniu: x > 0
Valori multiple: y > 0
Monoton: scade monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Limite: ;
valoare privată: Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0

Indicatorul este mai mic de unu 0< p < 1

Domeniu: x ≥ 0
Valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în sus
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indicatorul este mai mare decât un p > 1

Domeniu: x ≥ 0
Valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.