ZUFÄLLIGE WERTE UND DIE GESETZE IHRER VERTEILUNG.

Zufällig wird als Größe bezeichnet, die abhängig von der Kombination zufälliger Umstände Werte annimmt. Unterscheiden diskret und zufällig kontinuierlich Mengen.

Diskret Eine Größe heißt, wenn sie eine abzählbare Menge von Werten annimmt. ( Beispiel: die Anzahl der Patienten in der Arztpraxis, die Anzahl der Buchstaben pro Seite, die Anzahl der Moleküle in einem bestimmten Band).

kontinuierlich bezeichnet eine Größe, die innerhalb eines bestimmten Intervalls Werte annehmen kann. ( Beispiel: Lufttemperatur, Körpergewicht, menschliche Körpergröße usw.)

Vertriebsrecht Eine Zufallsvariable ist eine Menge möglicher Werte dieser Größe und entsprechend diesen Werten Wahrscheinlichkeiten (oder Häufigkeiten des Auftretens).

BEISPIEL:

Numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen.

In vielen Fällen können zusammen mit der Verteilung einer Zufallsvariablen oder an ihrer Stelle Informationen über diese Größen durch sogenannte numerische Parameter bereitgestellt werden numerische Eigenschaften einer Zufallsvariablen . Die am häufigsten verwendeten davon:

1 .Erwarteter Wert - (Durchschnittswert) einer Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte:

2 .Streuung zufällige Variable:

3 .Standardabweichung :

DREI SIGME - Ist eine Zufallsvariable nach dem Normalgesetz verteilt, so darf die Abweichung dieses Wertes vom Mittelwert im Absolutwert das Dreifache der Standardabweichung nicht überschreiten

Gaußsches Gesetz – Normalverteilungsgesetz

Oftmals kommt es zu verteilten Werten normales Gesetz (Gaußsches Gesetz). Hauptmerkmal : Es ist das Grenzgesetz, dem sich andere Verteilungsgesetze nähern.

Eine Zufallsvariable ist normalverteilt, wenn sie Wahrscheinlichkeitsdichte sieht aus wie:

M(X) - mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen;

 - Standardabweichung.

Wahrscheinlichkeitsdichte (Verteilungsfunktion) zeigt, wie sich die Wahrscheinlichkeit in Bezug auf das Intervall ändert dx Zufallsvariable, abhängig vom Wert der Variablen selbst:

Grundbegriffe der mathematischen Statistik

Mathe-Statistik - ein Zweig der angewandten Mathematik, der direkt an die Wahrscheinlichkeitstheorie angrenzt. Der Hauptunterschied zwischen mathematischer Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie besteht darin, dass die mathematische Statistik keine Einwirkungen auf Verteilungsgesetze und numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen berücksichtigt, sondern Näherungsmethoden zum Finden dieser Gesetze und numerischen Eigenschaften auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse.

Grundlegendes Konzept Mathematische Statistiken sind:

Durchschnittsbevölkerung;

Probe;

Variationsreihe;

Mode;

Median;

Perzentil,

Frequenzpolygon,

Balkendiagramm.

Bevölkerung - eine große statistische Grundgesamtheit, aus der einige der Forschungsobjekte ausgewählt werden

(Beispiel: die gesamte Bevölkerung der Region, Universitätsstudenten der Stadt usw.)

Stichprobe (Stichprobenpopulation) - eine Reihe von Objekten, die aus der allgemeinen Bevölkerung ausgewählt wurden.

Variationsreihe - statistische Verteilung, bestehend aus Varianten (Werten einer Zufallsvariablen) und ihren entsprechenden Häufigkeiten.

Beispiel:

X , kg

M

X - der Wert einer Zufallsvariablen (Masse der Mädchen im Alter von 10 Jahren);

M - Häufigkeit des Auftretens.

Mode – der Wert der Zufallsvariablen, der der höchsten Häufigkeit des Auftretens entspricht. (Im obigen Beispiel ist 24 kg der häufigste Wert für Mode: m = 20).

Median - der Wert einer Zufallsvariablen, die die Verteilung in zwei Hälften teilt: Die Hälfte der Werte liegt rechts vom Median, die Hälfte (nicht mehr) - links.

Beispiel:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Im Beispiel beobachten wir 40 Werte einer Zufallsvariablen. Alle Werte sind unter Berücksichtigung der Häufigkeit ihres Auftretens in aufsteigender Reihenfolge angeordnet. Es ist zu erkennen, dass 20 (die Hälfte) der 40 Werte rechts vom ausgewählten Wert 7 liegen. 7 ist also der Median.

Zur Charakterisierung der Streuung ermitteln wir die Werte, die nicht höher als 25 und 75 % der Messergebnisse waren. Diese Werte werden 25. und 75. genannt Perzentile . Wenn der Median die Verteilung halbiert, werden das 25. und 75. Perzentil um ein Viertel davon abgeschnitten. (Der Median selbst kann übrigens als 50. Perzentil betrachtet werden.) Wie Sie dem Beispiel entnehmen können, betragen das 25. und das 75. Perzentil 3 bzw. 8.

verwenden diskret (Punkt-)Statistische Verteilung und kontinuierlich (Intervall) statistische Verteilung.

Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden statistische Verteilungen im Formular grafisch dargestellt Frequenzpolygon oder - Histogramme .

Frequenzpolygon - eine gestrichelte Linie, deren Segmente Punkte mit Koordinaten verbinden ( X 1 , M 1 ), (X 2 , M 2 ), ..., oder für Polygon relativer Häufigkeiten - mit Koordinaten ( X 1 ,R * 1 ), (X 2 ,R * 2 ), ...(Abb.1).

MM ich / Nf(x)

X X

Abb.1 Abb.2

Häufigkeitshistogramm - eine Menge benachbarter Rechtecke, die auf einer geraden Linie aufgebaut sind (Abb. 2), die Grundflächen der Rechtecke sind gleich und gleich dx , und die Höhen sind gleich dem Verhältnis der Frequenz zu dx , oder R * Zu dx (Wahrscheinlichkeitsdichte).

Beispiel:

x, kg

Erwarteter Wert. mathematische Erwartung diskrete Zufallsvariable X, was eine endliche Anzahl von Werten annimmt Xich mit Wahrscheinlichkeiten Rich, heißt die Summe:

mathematische Erwartung kontinuierliche Zufallsvariable X heißt das Integral des Produkts seiner Werte X auf der WahrF(X):

(6B)

Uneigentliches Integral (6 B) wird als absolut konvergent angenommen (andernfalls sagen wir, dass der Erwartungswert M(X) existiert nicht). Die mathematische Erwartung charakterisiert mittlere Bedeutung zufällige Variable X. Seine Dimension stimmt mit der Dimension einer Zufallsvariablen überein.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung:

Streuung. Streuung zufällige Variable X Nummer heißt:

Die Streuung ist Streucharakteristik Werte einer Zufallsvariablen X relativ zu seinem Durchschnittswert M(X). Die Dimension der Varianz ist gleich der Dimension der quadrierten Zufallsvariablen. Basierend auf den Definitionen der Varianz (8) und des mathematischen Erwartungswerts (5) für eine diskrete Zufallsvariable und (6) für eine kontinuierliche Zufallsvariable erhalten wir ähnliche Ausdrücke für die Varianz:

(9)

Hier M = M(X).

Dispersionseigenschaften:

Standardabweichung:

(11)

Da die Dimension der Standardabweichung mit der einer Zufallsvariablen übereinstimmt, wird sie häufiger als die Varianz als Maß für die Streuung verwendet.

Verteilungsmomente. Die Konzepte des mathematischen Erwartungswerts und der Varianz sind Sonderfälle eines allgemeineren Konzepts für die numerischen Eigenschaften von Zufallsvariablen – Verteilungsmomente. Die Verteilungsmomente einer Zufallsvariablen werden als mathematische Erwartungen einiger einfacher Funktionen einer Zufallsvariablen eingeführt. Also der Moment der Ordnung k relativ zum Punkt X 0 heißt Erwartung M(X–X 0 )k. Momente relativ zum Ursprung X= 0 aufgerufen werden erste Momente und sind gekennzeichnet:

(12)

Das Anfangsmoment erster Ordnung ist das Verteilungszentrum der betrachteten Zufallsvariablen:

(13)

Momente relativ zum Vertriebszentrum X= M angerufen zentrale Momente und sind gekennzeichnet:

(14)

Aus (7) folgt, dass das Zentralmoment erster Ordnung immer gleich Null ist:

Die zentralen Momente hängen nicht vom Ursprung der Werte der Zufallsvariablen ab, da bei einer Verschiebung um einen konstanten Wert MIT sein Verteilungsschwerpunkt verschiebt sich um den gleichen Wert MIT, und die Abweichung vom Zentrum ändert sich nicht: X – M = (X – MIT) – (M – MIT).
Jetzt ist es offensichtlich Streuung- Das Zentralmoment zweiter Ordnung:

Asymmetrie. Zentrales Moment dritter Ordnung:

(17)

dient der Bewertung Verteilungsschiefe. Wenn die Verteilung symmetrisch zum Punkt ist X= M, dann ist das Zentralmoment dritter Ordnung gleich Null (sowie alle Zentralmomente ungerader Ordnung). Wenn also das Zentralmoment dritter Ordnung von Null verschieden ist, kann die Verteilung nicht symmetrisch sein. Das Ausmaß der Asymmetrie wird mithilfe einer dimensionslosen Schätzung geschätzt Asymmetriekoeffizient:

(18)

Das Vorzeichen des Asymmetriekoeffizienten (18) zeigt eine rechtsseitige oder linksseitige Asymmetrie an (Abb. 2).

Reis. 2. Arten der Asymmetrie von Verteilungen.

Überschuss. Zentrales Moment vierter Ordnung:

(19)

dient der Auswertung der sogenannten Kurtosis, der den Grad der Steilheit (Spitzigkeit) der Verteilungskurve in der Nähe des Verteilungszentrums in Bezug auf die Normalverteilungskurve bestimmt. Denn für eine Normalverteilung beträgt die als Kurtosis genommene Größe:

(20)

Auf Abb. In Abb. 3 zeigt Beispiele für Verteilungskurven mit unterschiedlichen Kurtosis-Werten. Für eine Normalverteilung E= 0. Kurven mit stärkeren Spitzen als normal haben eine positive Kurtosis, und Kurven mit flacheren Spitzen haben eine negative Kurtosis.

Reis. 3. Verteilungskurven mit unterschiedlicher Steilheit (Kurtosis).

Momente höherer Ordnung werden in technischen Anwendungen der mathematischen Statistik normalerweise nicht verwendet.

Mode diskret Die Zufallsvariable ist ihr wahrscheinlichster Wert. Mode kontinuierlich Eine Zufallsvariable ist ihr Wert, bei dem die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist (Abb. 2). Wenn die Verteilungskurve ein Maximum hat, wird die Verteilung aufgerufen unimodal. Wenn die Verteilungskurve mehr als ein Maximum aufweist, wird die Verteilung aufgerufen polymodal. Manchmal gibt es Verteilungen, deren Kurven kein Maximum, sondern ein Minimum haben. Solche Verteilungen heißen antimodal. Im allgemeinen Fall stimmen der Modus und der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen nicht überein. Im Einzelfall, z modal, d.h. einen Modus haben, eine symmetrische Verteilung, und sofern eine mathematische Erwartung besteht, stimmt diese mit dem Modus und dem Symmetriezentrum der Verteilung überein.

Median zufällige Variable X ist seine Bedeutung Mich, für die Gleichheit gilt: d.h. es ist ebenso wahrscheinlich, dass die Zufallsvariable X wird weniger oder mehr sein Mich. Geometrisch Median ist die Abszisse des Punktes, an dem die Fläche unter der Verteilungskurve in zwei Hälften geteilt wird (Abb. 2). Bei einer symmetrischen Modalverteilung sind Median, Modus und Mittelwert gleich.

Bei der Lösung vieler praktischer Probleme ist es nicht immer notwendig, eine Zufallsvariable vollständig zu charakterisieren, also die Verteilungsgesetze zu bestimmen. Darüber hinaus ist die Konstruktion einer Funktion oder einer Reihe von Verteilungen für eine diskrete und einer Dichte für eine kontinuierliche Zufallsvariable umständlich und unnötig.

Manchmal reicht es aus, einzelne numerische Parameter anzugeben, die die Merkmale der Verteilung teilweise charakterisieren. Es ist notwendig, einen bestimmten Durchschnittswert jeder Zufallsvariablen zu kennen, um den ihr möglicher Wert gruppiert wird, oder den Grad der Streuung dieser Werte im Verhältnis zum Durchschnitt usw.

Die Merkmale der wichtigsten Merkmale der Verteilung werden numerische Merkmale genannt zufällige Variable. Mit ihrer Hilfe wird die Lösung vieler Wahrscheinlichkeitsprobleme erleichtert, ohne die Verteilungsgesetze für sie festzulegen.

Das wichtigste Merkmal der Position einer Zufallsvariablen auf der reellen Achse ist erwarteter Wert M[X]= ein, was manchmal als Mittelwert der Zufallsvariablen bezeichnet wird. Für diskrete Zufallsvariable X mit mögliche Werte X 1 , X 2 , … , x n und Wahrscheinlichkeiten P 1 , P 2 ,… , p n es wird durch die Formel bestimmt

Vorausgesetzt, dass =1 ist, können wir schreiben

Auf diese Weise, mathematische Erwartung Eine diskrete Zufallsvariable ist die Summe der Produkte ihrer möglichen Werte und ihrer Wahrscheinlichkeiten. Das arithmetische Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen nähert sich bei einer großen Anzahl von Experimenten seiner mathematischen Erwartung.

Für kontinuierliche Zufallsvariable X Die mathematische Erwartung wird nicht durch die Summe bestimmt, sondern Integral

Wo F(X) - Verteilungsdichte der Menge X.

Nicht für alle Zufallsvariablen besteht ein mathematischer Erwartungswert. Bei einigen von ihnen weicht die Summe bzw. das Integral voneinander ab, sodass keine Erwartung besteht. In diesen Fällen sollte man aus Genauigkeitsgründen den Bereich möglicher Änderungen der Zufallsvariablen einschränken X, für die die Summe oder das Integral konvergiert.

In der Praxis werden auch Merkmale der Position einer Zufallsvariablen wie Modus und Median verwendet.

Zufällige Modesein wahrscheinlichster Wert wird aufgerufen. Im allgemeinen Fall stimmen der Modus und die mathematische Erwartung nicht überein.

Median einer ZufallsvariablenX ist ihr Wert, bezüglich dessen es mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen größeren oder kleineren Wert einer Zufallsvariablen erhält, d. h. dies ist die Abszisse des Punktes, an dem die durch die Verteilungskurve begrenzte Fläche in zwei Hälften geteilt wird. Bei einer symmetrischen Verteilung sind alle drei Merkmale gleich.

Neben dem mathematischen Erwartungswert, Modus und Median werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie auch andere Merkmale verwendet, die jeweils eine bestimmte Eigenschaft der Verteilung beschreiben. Numerische Merkmale, die die Streuung einer Zufallsvariablen charakterisieren, also zeigen, wie eng ihre möglichen Werte um den mathematischen Erwartungswert gruppiert sind, sind beispielsweise die Varianz und die Standardabweichung. Sie ergänzen die Zufallsvariable erheblich, da es in der Praxis häufig Zufallsvariablen mit gleichen mathematischen Erwartungen, aber unterschiedlichen Verteilungen gibt. Bei der Bestimmung der Streueigenschaften wird die Differenz zwischen der Zufallsvariablen verwendet X und seine mathematische Erwartung, d.h.

Wo A = M[X] - erwarteter Wert.

Dieser Unterschied heißt zentrierte Zufallsvariable, entsprechenden Wert X, und bezeichnet :

Varianz einer Zufallsvariablen ist der mathematische Erwartungswert des Quadrats der Abweichung eines Wertes von seinem mathematischen Erwartungswert, d. h.:

D[ X]=M[( X-a) 2 ], oder

D[ X]=M[ 2 ].

Die Varianz einer Zufallsvariablen ist ein praktisches Merkmal der Streuung und Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert. Es ist jedoch nicht sichtbar, da es die Dimension des Quadrats einer Zufallsvariablen hat.

Für eine visuelle Charakterisierung der Streuung ist es praktischer, eine Größe zu verwenden, deren Dimension mit der einer Zufallsvariablen übereinstimmt. Dieser Wert ist Standardabweichung Zufallsvariable, die die positive Quadratwurzel ihrer Varianz ist.

Mathematischer Erwartungswert, Modus, Median, Varianz, Standardabweichung – die am häufigsten verwendeten numerischen Merkmale von Zufallsvariablen. Bei der Lösung praktischer Probleme, wenn es unmöglich ist, das Verteilungsgesetz zu bestimmen, sind ihre numerischen Eigenschaften eine ungefähre Beschreibung einer Zufallsvariablen, die eine Eigenschaft der Verteilung ausdrückt.

Zusätzlich zu den Hauptmerkmalen der Verteilung des Zentrums (Erwartung) und der Streuung (Streuung) ist es häufig erforderlich, andere wichtige Merkmale der Verteilung zu beschreiben - Symmetrie Und Schärfe, die über die Verteilungsmomente dargestellt werden können.

Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist vollständig gegeben, wenn alle ihre Momente bekannt sind. Viele Verteilungen können jedoch vollständig mithilfe der ersten vier Momente beschrieben werden, die nicht nur Parameter zur Beschreibung von Verteilungen sind, sondern auch bei der Auswahl empirischer Verteilungen wichtig sind, d. h. bei der Berechnung der numerischen Werte der Momente für eine gegebene Statistik Reihen und mit Hilfe spezieller Graphen kann man das Verteilungsgesetz bestimmen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei Arten von Momenten unterschieden: Anfangs- und Zentralmomente.

Der Anfangszeitpunkt der k-ten Ordnung zufällige Variable T wird der mathematische Erwartungswert der Menge genannt X k , d.h.

Daher wird sie für eine diskrete Zufallsvariable durch die Summe ausgedrückt

und für kontinuierlich - Integral

Unter den Anfangsmomenten einer Zufallsvariablen ist das Moment erster Ordnung, also der mathematische Erwartungswert, von besonderer Bedeutung. Zur Berechnung der Zentralmomente werden überwiegend Anfangsmomente höherer Ordnung herangezogen.

Das zentrale Moment der k-ten Ordnung Eine Zufallsvariable wird als mathematische Erwartung der Variablen bezeichnet ( X - M [X])k

Wo A = M[X].

Für eine diskrete Zufallsvariable wird sie durch die Summe ausgedrückt

A für kontinuierlich - Integral

Zu den zentralen Momenten einer Zufallsvariablen gehört das Zentralmoment zweiter Ordnung, was die Varianz der Zufallsvariablen darstellt.

Das Zentralmoment erster Ordnung ist immer Null.

Dritter erster Moment charakterisiert die Asymmetrie (Schiefe) der Verteilung und wird gemäß den Ergebnissen der Beobachtungen für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen durch die entsprechenden Ausdrücke bestimmt:

Da es die Dimension eines Würfels einer Zufallsvariablen hat, um ein dimensionsloses Merkmal zu erhalten, m 3 dividiert durch die Standardabweichung zur dritten Potenz

Der resultierende Wert wird Asymmetriekoeffizient genannt und charakterisiert je nach Vorzeichen das Positive ( Als> 0) oder negativ ( Als< 0) die Schiefe der Verteilung (Abb. 2.3).

„Maßeinheiten physikalischer Größen“ – Der absolute Fehler entspricht der halben Skalenteilung des Messgerätes. Mikrometer. Das Ergebnis erhält man direkt mit dem Messgerät. Kastenlänge: 4 cm kurz, 5 cm darüber. Für jede physikalische Größe gibt es entsprechende Maßeinheiten. Uhr. Relativer Fehler.

„Längenwerte“ - 2. Welche Größen miteinander verglichen werden können: 2. Erklären Sie, warum das folgende Problem durch Addition gelöst wird: 2. Begründen Sie die Wahl der Aktion bei der Lösung des Problems. Wie viele Pakete hast du bekommen? Wie viele Stifte sind in drei dieser Kartons enthalten? Kleider wurden aus 12 m Stoff genäht, wobei jeweils 4 m benötigt wurden. Wie viele Kleider wurden genäht?

„Physikalische Größen“ – Die Grenzen zwischen der Physik und anderen Naturwissenschaften sind historisch bedingt. Das Ergebnis jeder Messung enthält immer einen Fehler. Neues Thema. Geschwindigkeit. Telefoninteraktion. Physikalische Gesetze werden in Form quantitativer Verhältnisse dargestellt, ausgedrückt in der Sprache der Mathematik. Messfehler.

„Zahl als Ergebnis der Messung eines Wertes“ – Mathematikstunde „Zahl als Ergebnis der Messung eines Wertes“ in der 1. Klasse. Messen der Länge eines Segments mit einem Maßstab.

„Zahlen und Mengen“ – Kennenlernen des Massebegriffs. Vergleich von Massen ohne Messungen. Römische Nummerierung. Kapazität. Der Schüler lernt: Zahlen und Mengen (30 Stunden) Koordinatenstrahl Das Konzept eines Koordinatenstrahls. Geplante Fachergebnisse im Abschnitt „Zahlen und Mengen“ in der 2. Klasse. Das allgemeine Prinzip der Bildung von Kardinalzahlen innerhalb der untersuchten Zahlen.

„Größe der Nachfrage“ – Ursachen für Nachfrageänderungen. Die im Diagramm erhaltene DD-Kurve (von der englischen Nachfrage – „Nachfrage“) wird als Nachfragekurve bezeichnet. Elastische Nachfrage (Epd>1). Die Höhe der Nachfrage. Faktoren, die die Nachfrage beeinflussen. Die Abhängigkeit der nachgefragten Menge vom Preisniveau wird als Nachfrageskala bezeichnet. Absolut unelastische Nachfrage (Epd=0).