VALORI ALEATORII ŞI LEGILE DISTRIBUŢIEI LOR.
Aleatoriu numită o cantitate care ia valori în funcție de combinația de circumstanțe aleatorii. Distinge discret și aleatoriu continuu cantități.
Discret O cantitate este numită dacă ia un set numărabil de valori. ( Exemplu: numărul de pacienți din cabinetul medicului, numărul de litere pe pagină, numărul de molecule dintr-un volum dat).
continuu numită o cantitate care poate lua valori într-un anumit interval. ( Exemplu: temperatura aerului, greutatea corporală, înălțimea umană etc.)
legea distributiei O variabilă aleatorie este un set de valori posibile ale acestei mărimi și, corespunzătoare acestor valori, probabilități (sau frecvențe de apariție).
EXEMPLU:
Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare.
În multe cazuri, împreună cu distribuția unei variabile aleatoare sau în locul acesteia, informațiile despre aceste mărimi pot fi furnizate prin parametri numerici numiți caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii . Cele mai frecvent utilizate dintre ele:
1 .Valorea estimata - (valoarea medie) a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori:
2 .Dispersia variabilă aleatorie:
3 .Deviație standard :
TREI SIGME - dacă o variabilă aleatoare este distribuită conform legii normale, atunci abaterea acestei valori de la valoarea medie în valoare absolută nu depășește de trei ori abaterea standard
Legea Gauss - legea distribuției normale
Adesea există valori distribuite legea normală (Legea lui Gauss). caracteristica principală : este legea limitatoare la care se apropie alte legi ale distributiei.
O variabilă aleatoare este distribuită în mod normal dacă este probabilitate densitate se pare ca:
M(X) - așteptarea matematică a unei variabile aleatoare;
- abaterea standard.
Probabilitate densitate (funcția de distribuție) arată cum se modifică probabilitatea legată de interval dx variabilă aleatoare, în funcție de valoarea variabilei în sine:
Concepte de bază ale statisticii matematice
Statistici matematice - o ramură a matematicii aplicate, direct adiacentă teoriei probabilităților. Principala diferență dintre statistica matematică și teoria probabilității este că statistica matematică nu ia în considerare acțiunile asupra legilor de distribuție și caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare, ci metodele aproximative pentru găsirea acestor legi și caracteristicile numerice pe baza rezultatelor experimentale.
Noțiuni de bază statisticile matematice sunt:
Populatie generala;
probă;
serie de variații;
Modă;
median;
percentila,
poligon de frecvență,
diagramă cu bare.
Populația - o populație statistică mare din care sunt selectate unele dintre obiectele de cercetare
(Exemplu:întreaga populație a regiunii, studenții universitari ai orașului etc.)
Eșantion (populație eșantion) - un set de obiecte selectate din populația generală.
Seria de variații - distribuția statistică, constând din variante (valori ale unei variabile aleatoare) și frecvențele corespunzătoare acestora.
Exemplu:
|
X , kg | ||||||||||||
|
m |
X - valoarea unei variabile aleatoare (masa fetelor de 10 ani);
m - frecvența de apariție.
Modă – valoarea variabilei aleatoare, care corespunde cu cea mai mare frecvență de apariție. (În exemplul de mai sus, 24 kg este cea mai comună valoare pentru modă: m = 20).
Median - valoarea unei variabile aleatoare care împarte distribuția în jumătate: jumătate dintre valori sunt situate la dreapta medianei, jumătate (nu mai mult) - la stânga.
Exemplu:
1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10
În exemplu, observăm 40 de valori ale unei variabile aleatorii. Toate valorile sunt aranjate în ordine crescătoare, ținând cont de frecvența apariției lor. Se poate observa că 20 (jumătate) din cele 40 de valori sunt situate în dreapta valorii selectate 7. Deci 7 este mediana.
Pentru a caracteriza împrăștierea, găsim valori care nu au fost mai mari de 25 și 75% din rezultatele măsurătorii. Aceste valori sunt numite 25 și 75 percentile . Dacă mediana traversează distribuția, atunci percentilele 25 și 75 sunt tăiate de ea cu un sfert. (Apropo, mediana în sine poate fi considerată a 50-a percentila.) După cum puteți vedea din exemplu, a 25-a și a 75-a percentila sunt 3 și, respectiv, 8.
utilizare discret (punct) distribuția statistică și continuu (interval) distribuție statistică.
Pentru claritate, distribuțiile statistice sunt reprezentate grafic în formular poligon de frecvență sau - histogramelor .
Poligon de frecvență - o linie întreruptă, ale cărei segmente conectează puncte cu coordonate ( X 1 , m 1 ), (X 2 , m 2 ), ..., sau pentru poligon de frecvențe relative - cu coordonate ( X 1 ,R * 1 ), (X 2 ,R * 2 ), ...(Fig.1).
mm i / nf(x)
X X
Fig.1 Fig.2
Histograma de frecventa - un set de dreptunghiuri adiacente construite pe o linie dreaptă (Fig. 2), bazele dreptunghiurilor sunt aceleași și egale dx , iar înălțimile sunt egale cu raportul de frecvență la dx , sau R * La dx (probabilitate densitate).
Exemplu:
|
x, kg | ||||||||||||||||||
Valorea estimata. așteptări matematice variabilă aleatoare discretă X, care ia un număr finit de valori Xi cu probabilităţi Ri, se numește suma:
așteptări matematice variabilă aleatoare continuă X se numește integrala produsului valorilor sale X asupra densității distribuției de probabilitate f(X):
(6b)
Integrală necorespunzătoare (6 b) se presupune că este absolut convergentă (altfel spunem că așteptarea M(X) nu exista). Aşteptarea matematică caracterizează valoarea medie variabilă aleatorie X. Dimensiunea sa coincide cu dimensiunea unei variabile aleatoare.
Proprietățile așteptărilor matematice:
Dispersia. dispersie variabilă aleatorie X numarul se numeste:
Dispersia este caracteristică de împrăștiere valorile unei variabile aleatoare X raportat la valoarea sa medie M(X). Dimensiunea varianței este egală cu dimensiunea variabilei aleatoare la pătrat. Pe baza definițiilor varianței (8) și a așteptărilor matematice (5) pentru o variabilă aleatoare discretă și (6) pentru o variabilă aleatoare continuă, obținem expresii similare pentru varianță:
(9)
Aici m = M(X).
Proprietăți de dispersie:
Deviație standard:
(11)
Deoarece dimensiunea abaterii standard este aceeași cu cea a unei variabile aleatoare, este mai des decât varianța utilizată ca măsură a dispersiei.
momentele de distribuție. Conceptele de așteptare și varianță matematică sunt cazuri speciale ale unui concept mai general pentru caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare - momentele de distribuție. Momentele de distribuție ale unei variabile aleatoare sunt introduse ca așteptări matematice ale unor funcții simple ale unei variabile aleatoare. Deci, momentul comenzii k relativ la punct X 0 se numește așteptare M(X–X 0 )k. Momente relativ la origine X= 0 sunt numite momentele inițialeși sunt marcate:
(12)
Momentul inițial de ordinul întâi este centrul de distribuție al variabilei aleatoare considerate:
(13)
Momente relativ la centrul de distribuție X= m numit momente centraleși sunt marcate:
(14)
Din (7) rezultă că momentul central de ordinul întâi este întotdeauna egal cu zero:
Momentele centrale nu depind de originea valorilor variabilei aleatoare, deoarece cu o deplasare cu o valoare constantă CU centrul său de distribuție este deplasat cu aceeași valoare CU, iar abaterea de la centru nu se modifică: X – m = (X – CU) – (m – CU).
Acum este evident că dispersie- Acest moment central de ordinul doi:
Asimetrie. Momentul central al ordinului al treilea:
(17)
serveste la evaluare asimetrie de distribuție. Dacă distribuția este simetrică față de punct X= m, atunci momentul central al ordinului al treilea va fi egal cu zero (precum și toate momentele centrale ale ordinelor impare). Prin urmare, dacă momentul central de ordinul trei este diferit de zero, atunci distribuția nu poate fi simetrică. Mărimea asimetriei este estimată folosind un adimensional coeficient de asimetrie:
(18)
Semnul coeficientului de asimetrie (18) indică asimetria din dreapta sau din stânga (Fig. 2).
Orez. 2. Tipuri de asimetrie a distribuţiilor.
Exces. Momentul central al ordinului al patrulea:
(19)
serveşte la evaluarea aşa-zisului curtoză, care determină gradul de abrupție (punctură) al curbei de distribuție în apropierea centrului de distribuție în raport cu curba de distribuție normală. Deoarece pentru o distribuție normală, cantitatea luată ca curtoză este:
(20)
Pe fig. 3 prezintă exemple de curbe de distribuție cu diferite valori de curtoză. Pentru o distribuție normală E= 0. Curbele care au vârfuri mai mari decât în mod normal au curtoză pozitivă, iar curbele cu vârfuri mai plate au kurtoză negativă.
Orez. 3. Curbe de distribuție cu diferite grade de abruptitate (kurtoză).
Momentele de ordin superior în aplicațiile de inginerie ale statisticii matematice nu sunt de obicei utilizate.
Modă
discret variabila aleatorie este valoarea sa cea mai probabilă. Modă continuu o variabilă aleatorie este valoarea sa la care densitatea de probabilitate este maximă (Fig. 2). Dacă curba de distribuție are un maxim, atunci distribuția este numită unimodal. Dacă curba de distribuție are mai mult de un maxim, atunci distribuția este numită polimodal. Uneori există distribuții ale căror curbe nu au un maxim, ci un minim. Astfel de distribuții sunt numite antimodal. În cazul general, modul și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare nu coincid. Într-un caz anume, pentru modal, adică având un mod, o distribuție simetrică și cu condiția să existe o așteptare matematică, aceasta din urmă coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.
Median variabilă aleatorie X este sensul lui Pe mine, pentru care egalitatea este valabilă: i.e. este la fel de probabil ca variabila aleatoare X va fi mai puțin sau mai mult Pe mine. Geometric median este abscisa punctului în care aria de sub curba de distribuție este împărțită la jumătate (fig. 2). În cazul unei distribuții modale simetrice, mediana, modul și media sunt aceleași.
Când se rezolvă multe probleme practice, nu este întotdeauna necesar să se caracterizeze complet o variabilă aleatoare, adică să se determine legile distribuției. În plus, construcția unei funcții sau a unei serii de distribuții pentru o variabilă discretă și densitate - pentru o variabilă aleatoare continuă este greoaie și inutilă.
Uneori este suficient să indicați parametri numerici individuali care caracterizează parțial caracteristicile distribuției. Este necesar să se cunoască o valoare medie a fiecărei variabile aleatoare, în jurul căreia este grupată valoarea ei posibilă, sau gradul de dispersie a acestor valori raportat la medie etc.
Caracteristicile celor mai semnificative caracteristici ale distribuției se numesc caracteristici numerice variabilă aleatorie. Cu ajutorul lor, rezolvarea multor probleme probabilistice este facilitată fără a determina legile distribuției pentru acestea.
Cea mai importantă caracteristică a poziției unei variabile aleatoare pe axa reală este valorea estimata M[X]= a, care se numește uneori valoarea medie a variabilei aleatoare. Pentru variabila aleatoare discreta X cu valori posibile X 1 , X 2 , … , x nși probabilități p 1 , p 2 ,… , p n este determinat de formula
Având în vedere că =1, putem scrie
Prin urmare, așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora. Media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii cu un număr mare de experimente se apropie de așteptările sale matematice.
Pentru variabilă aleatoare continuă X așteptarea matematică nu este determinată de sumă, ci integrală
Unde f(X) - densitatea de distribuție a cantității X.
Așteptările matematice nu există pentru toate variabilele aleatoare. Pentru unii dintre ei, suma, sau integrala, diverge și, prin urmare, nu există așteptări. În aceste cazuri, din motive de acuratețe, ar trebui să se limiteze gama de modificări posibile ale variabilei aleatoare X, pentru care suma, sau integrala, va converge.
În practică, sunt utilizate și caracteristici ale poziției unei variabile aleatoare, cum ar fi modul și mediana.
Moda aleatoarevaloarea sa cea mai probabilă se numește.În cazul general, modul și așteptarea matematică nu coincid.
Mediana unei variabile aleatoareX este valoarea sa, în raport cu care este la fel de probabil să obțină o valoare mai mare sau mai mică a unei variabile aleatoare, adică aceasta este abscisa punctului în care aria delimitată de curba de distribuție este împărțită la jumătate. Pentru o distribuție simetrică, toate cele trei caracteristici sunt aceleași.
Pe lângă așteptările matematice, mod și mediană, în teoria probabilității sunt utilizate și alte caracteristici, fiecare dintre acestea descriind o anumită proprietate a distribuției. De exemplu, caracteristicile numerice care caracterizează dispersia unei variabile aleatoare, adică care arată cât de strâns sunt grupate valorile posibile ale acesteia în jurul așteptării matematice, sunt varianța și abaterea standard. Ele completează semnificativ variabila aleatoare, deoarece în practică există adesea variabile aleatoare cu așteptări matematice egale, dar distribuții diferite. La determinarea caracteristicilor de împrăștiere, diferența dintre variabila aleatoare Xși așteptările sale matematice, adică
Unde A = M[X] - valorea estimata.
Această diferență se numește variabilă aleatoare centrată, valoarea corespunzătoare X,și notat :
Varianta unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a pătratului abaterii unei valori de la așteptarea sa matematică, adică:
D[ X]=M[( X-a) 2 ] sau
D[ X]=M[ 2 ].
Varianta unei variabile aleatoare este o caracteristică convenabilă de dispersie și dispersie a valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Cu toate acestea, este lipsită de vizibilitate, deoarece are dimensiunea pătratului unei variabile aleatorii.
Pentru o caracterizare vizuală a împrăștierii, este mai convenabil să se utilizeze o mărime a cărei dimensiune coincide cu cea a unei variabile aleatorii. Această valoare este deviație standard variabilă aleatoare care este rădăcina pătrată pozitivă a varianței sale.
Așteptări matematice, mod, mediană, varianță, abatere standard - cele mai frecvent utilizate caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare. La rezolvarea unor probleme practice, când este imposibil să se determine legea distribuției, o descriere aproximativă a unei variabile aleatoare este caracteristicile sale numerice, exprimând o anumită proprietate a distribuției.
Pe lângă principalele caracteristici ale distribuției centrului (așteptării) și dispersiei (dispersie), este adesea necesar să se descrie și alte caracteristici importante ale distribuției - simetrieȘi claritate, care poate fi reprezentat folosind momentele de distribuţie.
Distribuția unei variabile aleatoare este complet dată dacă toate momentele ei sunt cunoscute. Cu toate acestea, multe distribuții pot fi descrise complet folosind primele patru momente, care nu sunt doar parametri care descriu distribuțiile, ci sunt și importanți în selectarea distribuțiilor empirice, adică prin calcularea valorilor numerice ale momentelor pentru o serie statistică dată și folosind grafice speciale, puteți determina legea distribuției.
În teoria probabilității se disting două tipuri de momente: inițial și central.
Momentul inițial al ordinului k variabilă aleatorie T se numește așteptarea matematică a mărimii X k , adică
Prin urmare, pentru o variabilă aleatoare discretă, aceasta este exprimată prin sumă
iar pentru continuu - integral
Dintre momentele inițiale ale unei variabile aleatoare, momentul de ordinul întâi, care este așteptarea matematică, are o importanță deosebită. Momentele inițiale de ordin superior sunt utilizate în principal pentru a calcula momentele centrale.
Momentul central al ordinului k variabila aleatoare se numeste asteptarea matematica a variabilei ( X - M [X])k
Unde A = M[X].
Pentru o variabilă aleatoare discretă, aceasta este exprimată prin sumă
A pentru continuu - integral
Printre momentele centrale ale unei variabile aleatoare, cel moment central de ordinul doi, care reprezintă varianţa variabilei aleatoare.
Momentul central de ordinul întâi este întotdeauna zero.
Al treilea moment inițial caracterizează asimetria (asimetria) distribuției și, conform rezultatelor observațiilor pentru variabile aleatoare discrete și continue, este determinată de expresiile corespunzătoare:
Deoarece are dimensiunea unui cub al unei variabile aleatoare, pentru a obține o caracteristică adimensională, m 3împărțit la abaterea standard la a treia putere
Valoarea rezultată se numește coeficient de asimetrie și, în funcție de semn, caracterizează pozitiv ( La fel de> 0) sau negativ ( La fel de< 0) asimetria distribuției (Fig. 2.3).
„Unități de măsură ale mărimilor fizice” - Eroarea absolută este egală cu jumătate din diviziunea la scară a instrumentului de măsurare. Micrometru. Rezultatul se obține direct cu instrumentul de măsură. Lungime cutie: 4 cm scurt, 5 cm peste. Pentru fiecare mărime fizică există unități de măsură corespunzătoare. Ceas. Eroare relativă.
„Valorile lungimii” - 2. Ce mărimi pot fi comparate între ele: 2. Explicați de ce se rezolvă următoarea problemă prin adunare: 2. Justificați alegerea acțiunii la rezolvarea problemei. Cate pachete ai primit? Câte pixuri sunt în trei dintre aceste cutii? Rochiile au fost cusute din 12 m de stofa, cheltuind 4 m fiecare.Cate rochii au fost cusute?
„Mărimi fizice” - Granițele care separă fizica și alte științe ale naturii sunt condiționate din punct de vedere istoric. Rezultatul oricărei măsurători conține întotdeauna o eroare. Subiect nou. Viteză. Interacțiunea telefonică. Legile fizice sunt prezentate sub forma unor rapoarte cantitative exprimate în limbajul matematicii. Eroare de măsurare.
„Numărul ca rezultat al măsurării unei valori” - „Numărul ca rezultat al măsurării unei valori” lecția de matematică din clasa 1. Măsurarea lungimii unui segment cu un etalon.
„Numere și cantități” - Cunoașterea conceptului de masă. Compararea maselor fără măsurători. Numerotarea scrisă romană. Capacitate. Elevul va învăța: Numere și cantități (30 ore) Raza de coordonate Conceptul de rază de coordonate. Materia planificată rezultă la secțiunea „Numere și cantități” din clasa a 2-a. Principiul general al formării numerelor cardinale în cadrul numerelor studiate.
„Mărimea cererii” – Cauzele modificărilor cererii. Curba DD obținută pe diagramă (din engleză cerere - „cerere”) se numește curba cererii. Cerere elastică (Epd>1). Valoarea cererii. Factorii care afectează cererea. Dependența cantității cerute de nivelul prețurilor se numește scara cererii. Cerere absolut inelastică (Epd=0).
