A VÉLETLENSZERŰ ÉRTÉKEK ÉS AZOK FORRÁSÁNAK TÖRVÉNYEI.

Véletlen olyan mennyiségnek nevezzük, amely a véletlenszerű körülmények kombinációjától függően vesz fel értékeket. Megkülönböztetni diszkrét és véletlenszerű folyamatos mennyiségeket.

Diszkrét Egy mennyiséget akkor hívunk, ha megszámlálható értékhalmazt vesz fel. ( Példa: az orvosi rendelőben lévő betegek száma, az oldalankénti betűk száma, az adott kötetben lévő molekulák száma).

folyamatos Olyan mennyiségnek nevezzük, amely egy bizonyos intervallumon belül értéket vehet fel. ( Példa: levegő hőmérséklet, testtömeg, embermagasság stb.)

elosztási törvény A valószínűségi változó ennek a mennyiségnek és az ezeknek az értékeknek megfelelő valószínűségeknek (vagy előfordulási gyakoriságoknak) lehetséges értékeinek halmaza.

PÉLDA:

Valószínűségi változók numerikus jellemzői.

Sok esetben egy valószínűségi változó eloszlásával együtt vagy helyette numerikus paraméterekkel, ún. egy valószínűségi változó numerikus jellemzői . Ezek közül a leggyakrabban használtak:

1 .Várható érték - Egy valószínűségi változó (átlagértéke) az összes lehetséges értéke szorzata és ezen értékek valószínűsége:

2 .Diszperzió véletlen változó:

3 .Szórás :

HÁROM SZIGM - ha egy valószínűségi változót a normál törvény szerint osztunk el, akkor ennek az értéknek az abszolút értékben kifejezett átlagtól való eltérése nem haladja meg a szórás háromszorosát

Gauss törvény – normál eloszlás törvénye

Gyakran vannak elosztva az értékek normális törvény (Gauss törvénye). fő jellemzője : ez az a korlátozó törvény, amelyhez az elosztás más törvényei közelednek.

Egy valószínűségi változó normális eloszlású, ha az valószínűségi sűrűség úgy néz ki, mint a:

M(X) - egy valószínűségi változó matematikai elvárása;

 - szórás.

Valószínűségi sűrűség (eloszlási függvény) megmutatja, hogyan változik az intervallumhoz kapcsolódó valószínűség dx valószínűségi változó, magának a változónak az értékétől függően:

A matematikai statisztika alapfogalmai

Matematikai statisztika - az alkalmazott matematikának egy ága, amely közvetlenül szomszédos a valószínűségelmélettel. A fő különbség a matematikai statisztika és a valószínűségszámítás között az, hogy a matematikai statisztika nem az eloszlási törvényekre és a valószínűségi változók numerikus jellemzőire vonatkozó műveleteket veszi figyelembe, hanem közelítő módszereket ezeknek a törvényeknek és a numerikus jellemzőknek a kísérleti eredményeken alapuló megtalálására.

Alapfogalmak A matematikai statisztikák a következők:

Általános népesség;

minta;

variációs sorozat;

divat;

középső;

százalékos,

frekvencia sokszög,

oszlopdiagram.

Népesség - egy nagy statisztikai sokaság, amelyből a kutatási objektumok egy részét kiválasztják

(Példa: a régió teljes lakossága, a város egyetemistái stb.)

Minta (minta sokaság) - az általános sokaságból kiválasztott objektumok halmaza.

Variációs sorozat - statisztikai eloszlás, amely változatokból (egy valószínűségi változó értékeiből) és a hozzájuk tartozó gyakoriságokból áll.

Példa:

x , kg

m

x - egy valószínűségi változó értéke (10 éves lányok tömege);

m - előfordulási gyakoriság.

Divat – a valószínűségi változó értéke, amely a legmagasabb előfordulási gyakoriságnak felel meg. (A fenti példában a 24 kg a divat leggyakoribb értéke: m = 20).

Középső - az eloszlást felére osztó valószínűségi változó értéke: az értékek fele a mediántól jobbra, a fele (nem több) balra található.

Példa:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

A példában egy valószínűségi változó 40 értékét figyeljük meg. Minden érték növekvő sorrendben van elrendezve, figyelembe véve előfordulásuk gyakoriságát. Látható, hogy a 40 értékből 20 (a fele) a kiválasztott 7-es értéktől jobbra található. Tehát a 7 a medián.

A szórás jellemzésére azokat az értékeket találjuk, amelyek nem haladták meg a mérési eredmények 25 és 75%-át. Ezeket az értékeket 25-nek és 75-nek nevezik százalékos . Ha a medián felezi az eloszlást, akkor a 25. és 75. percentilis negyedével leválik tőle. (Maga a medián egyébként az 50. percentilisnek tekinthető.) Ahogy a példából is látható, a 25. és 75. percentilis 3, illetve 8.

használat diszkrét (pont) statisztikai eloszlás és folyamatos (intervallum) statisztikai eloszlás.

Az érthetőség kedvéért a statisztikai eloszlásokat grafikusan ábrázoltuk az űrlapon frekvencia sokszög vagy - hisztogramok .

Frekvencia sokszög - szaggatott vonal, melynek szakaszai pontokat kapcsolnak össze koordinátákkal ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ..., vagy for relatív frekvenciák sokszöge - koordinátákkal ( x 1 ,R * 1 ), (x 2 ,R * 2 ), ...(1. ábra).

mm én / nf(x)

x x

Fig.1 Fig.2

Frekvencia hisztogram - egy egyenesre épített szomszédos téglalapok halmaza (2. ábra), a téglalapok alapja azonos és egyenlő dx , és a magasságok megegyeznek a frekvencia arányával dx , vagy R * Nak nek dx (valószínűségi sűrűség).

Példa:

x, kg

Várható érték. matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó x, amely véges számú értéket vesz fel xén valószínűségekkel Rén, az úgynevezett összeg:

matematikai elvárás folytonos valószínűségi változó xértékei szorzatának integráljának nevezzük x a valószínűségi eloszlás sűrűségéről f(x):

(6b)

Nem megfelelő integrál (6 b) abszolút konvergensnek tételezzük fel (egyébként azt mondjuk, hogy a várakozás M(x) nem létezik). A matematikai elvárás jellemzi átlagos érték valószínűségi változó x. Dimenziója egybeesik egy valószínűségi változó dimenziójával.

A matematikai elvárás tulajdonságai:

Diszperzió. diszperzió valószínűségi változó x számot hívják:

A diszperzió az szórási jellemző egy valószínűségi változó értékei xátlagos értékéhez képest M(x). A variancia dimenziója egyenlő a valószínűségi változó négyzetes dimenziójával. A variancia (8) és a matematikai elvárás (5) definíciója alapján egy diszkrét valószínűségi változóra és (6) egy folytonos valószínűségi változóra, hasonló kifejezéseket kapunk a variancia számára:

(9)

Itt m = M(x).

Diszperziós tulajdonságok:

Szórás:

(11)

Mivel a szórás dimenziója megegyezik egy valószínűségi változó dimenziójával, ezért gyakrabban használják a szórást, mint a szórást.

elosztási pillanatok. A matematikai elvárás és a variancia fogalma a valószínűségi változók numerikus jellemzőinek általánosabb koncepciójának speciális esetei. elosztási pillanatok. Egy valószínűségi változó eloszlási momentumait egy valószínűségi változó néhány egyszerű függvényének matematikai elvárásaiként mutatjuk be. Szóval, a rendelés pillanata k ponthoz képest x A 0-t elvárásnak nevezzük M(x–x 0 )k. Az eredethez viszonyított pillanatok x= 0 hívják kezdeti pillanatokés vannak jelölve:

(12)

Az első sorrend kezdeti pillanata a figyelembe vett valószínűségi változó eloszlási központja:

(13)

Az elosztóközponthoz viszonyított pillanatok x= m hívott központi pillanatokés vannak jelölve:

(14)

A (7)-ből az következik, hogy az elsőrendű központi momentum mindig nulla:

A központi momentumok nem függenek a valószínűségi változó értékeinek eredetétől, mivel állandó értékkel való eltolással VAL VEL eloszlási középpontja ugyanazzal az értékkel tolódik el VAL VEL, és a középponttól való eltérés nem változik: x – m = (x – VAL VEL) – (m – VAL VEL).
Most már nyilvánvaló, hogy diszperzió- Ezt másodrendű központi momentum:

Aszimmetria. A harmadik rend központi momentuma:

(17)

értékelésére szolgál eloszlási ferdeség. Ha az eloszlás szimmetrikus a pontra x= m, akkor a harmadik sorrend központi momentuma egyenlő lesz nullával (valamint az összes páratlan sorrendű központi momentum). Ezért ha a harmadrendű központi momentum eltér nullától, akkor az eloszlás nem lehet szimmetrikus. Az aszimmetria nagyságát dimenzió nélküli módszerrel becsüljük meg aszimmetria együttható:

(18)

Az aszimmetria-együttható előjele (18) jobb vagy bal oldali aszimmetriát jelez (2. ábra).

Rizs. 2. Az eloszlások aszimmetriájának típusai.

Felesleg. A negyedik rend központi momentuma:

(19)

értékelésére szolgál az ún kurtosis, amely az eloszlási középpont közelében lévő eloszlási görbe meredekségének (hegyességének) mértékét határozza meg a normál eloszlási görbéhez képest. Mivel normál eloszlás esetén a kurtózisnak vett mennyiség a következő:

(20)

ábrán. A 3. ábra példákat mutat be eloszlási görbékre különböző kurtosis értékekkel. Normál eloszláshoz E= 0. A normálnál csúcsosabb görbék pozitív görbülettel rendelkeznek, a laposabb csúcsú görbék pedig negatívak.

Rizs. 3. Különböző meredekségi fokú eloszlási görbék (kurtózis).

A matematikai statisztika mérnöki alkalmazásaiban a magasabb rendű momentumokat általában nem használják.

Divat diszkrét valószínűségi változó a legvalószínűbb értéke. Divat folyamatos valószínűségi változó annak értéke, amelynél a valószínűségi sűrűség maximális (2. ábra). Ha az eloszlási görbének van egy maximuma, akkor az eloszlást hívjuk unimodális. Ha az eloszlási görbének egynél több maximuma van, akkor az eloszlást hívjuk polimodális. Néha vannak olyan eloszlások, amelyek görbéinek nem maximuma, hanem minimuma van. Az ilyen eloszlásokat ún antimodális. Általános esetben egy valószínűségi változó módusa és matematikai elvárása nem esik egybe. Egy adott esetben azért modális, azaz módussal, szimmetrikus eloszlással, és feltéve, hogy van matematikai elvárás, ez utóbbi egybeesik az eloszlás módusával és szimmetriaközéppontjával.

Középső valószínűségi változó x a jelentése Nekem, amelyre érvényes az egyenlőség: i.e. ugyanilyen valószínű, hogy a valószínűségi változó x kevesebb vagy több lesz Nekem. Mértanilag középső annak a pontnak az abszcisszája, ahol az eloszlási görbe alatti területet ketté kell osztani (2. ábra). Szimmetrikus modális eloszlás esetén a medián, módus és átlag megegyezik.

Sok gyakorlati probléma megoldása során nem mindig szükséges egy valószínűségi változó teljes körű jellemzése, azaz az eloszlási törvények meghatározása. Ezenkívül egy függvény vagy egy eloszlássorozat felépítése egy diszkrét és sűrűség - folytonos valószínűségi változó esetén nehézkes és szükségtelen.

Néha elegendő olyan egyedi numerikus paraméterek feltüntetése, amelyek részben jellemzik az eloszlás jellemzőit. Minden valószínűségi változónak ismernie kell valamilyen átlagértékét, amely köré csoportosul a lehetséges értéke, vagy ezeknek az értékeknek az átlaghoz viszonyított szórásának mértékét stb.

Az eloszlás legjelentősebb jellemzőinek jellemzőit numerikus jellemzőknek nevezzük valószínűségi változó. Segítségükkel számos valószínűségi probléma megoldását segítik elő anélkül, hogy meghatároznák számukra az eloszlási törvényeket.

Egy valószínűségi változó valós tengelyen elfoglalt helyzetének legfontosabb jellemzője az várható érték M[x]= a, amelyet néha a valószínűségi változó átlagértékének neveznek. Mert diszkrét X valószínűségi változóval lehetséges értékek x 1 , x 2 , … , x nés a valószínűségek p 1 , p 2 ,… , p n képlet határozza meg

Adva, hogy =1, írhatunk

És így, matematikai elvárás A diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei és valószínűségei szorzatának összege. Egy valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlaga nagy számú kísérlettel megközelíti a matematikai elvárásait.

Mert folytonos X valószínűségi változó a matematikai elvárást nem az összeg határozza meg, hanem integrál

Ahol f(x) - mennyiség eloszlási sűrűsége x.

Nem minden valószínűségi változóra létezik matematikai elvárás. Némelyikük esetében az összeg vagy integrál eltér, ezért nincs elvárás. Ezekben az esetekben a pontosság érdekében korlátozni kell a valószínűségi változó lehetséges változásainak tartományát x, amelyre az összeg vagy integrál konvergál.

A gyakorlatban a valószínűségi változó helyzetének olyan jellemzőit is használják, mint a módus és a medián.

Véletlen divatlegvalószínűbb értékét ún.Általános esetben a módusz és a matematikai elvárás nem esik egybe.

Valószínűségi változó mediánjaX az értéke, amelyhez képest ugyanannyira valószínű, hogy egy valószínűségi változó kisebb vagy nagyobb értékét kapja, azaz ez annak a pontnak az abszcisszája, ahol az eloszlási görbe által határolt területet felezik. Szimmetrikus eloszlás esetén mindhárom jellemző azonos.

A valószínűségszámításban a matematikai elváráson, móduson és mediánon kívül más jellemzőket is használnak, amelyek mindegyike az eloszlás egy-egy tulajdonságát írja le. Például olyan numerikus jellemzők, amelyek egy valószínűségi változó szórását jellemzik, vagyis azt mutatják, hogy a lehetséges értékei milyen szorosan csoportosulnak a matematikai elvárás köré, a variancia és a szórása. Jelentősen kiegészítik a valószínűségi változót, mivel a gyakorlatban gyakran előfordulnak azonos matematikai elvárású, de eltérő eloszlású valószínűségi változók. A szórási jellemzők meghatározásakor a valószínűségi változó közötti különbség xés annak matematikai elvárása, i.e.

Ahol A = M[x] - várható érték.

Ezt a különbséget ún központosított valószínűségi változó, megfelelő értéket x,és jelöltük :

Valószínűségi változó varianciája egy érték matematikai elvárásától való eltérésének négyzetének matematikai elvárása, azaz:

D[ x]=M[( X-a) 2 ], vagy

D[ x]=M[ 2 ].

A valószínűségi változó varianciája kényelmes jellemzője egy valószínűségi változó értékeinek diszperziójának és szórásának a matematikai elvárása körül. Ez azonban nem látható, mivel egy valószínűségi változó négyzetének dimenziója van.

A szórás vizuális jellemzésére célszerűbb olyan mennyiséget használni, amelynek mérete egybeesik egy valószínűségi változó méretével. Ez az érték szórás valószínűségi változó, amely a variancia pozitív négyzetgyöke.

Matematikai elvárás, módusz, medián, variancia, szórás - a valószínűségi változók leggyakrabban használt numerikus jellemzői. Gyakorlati problémák megoldása során, amikor az eloszlási törvényt nem lehet meghatározni, egy valószínűségi változó hozzávetőleges leírása annak numerikus jellemzői, kifejezve az eloszlás valamely tulajdonságát.

A centrum (elvárás) és szóródás (szóródás) főbb jellemzői mellett gyakran szükséges az eloszlás egyéb fontos jellemzőinek ismertetése is - szimmetriaÉs élesség, amelyeket az eloszlási momentumok segítségével ábrázolhatunk.

Egy valószínűségi változó eloszlása ​​teljesen adott, ha minden pillanata ismert. Sok eloszlás azonban teljes mértékben leírható az első négy momentum segítségével, amelyek nem csak az eloszlásokat leíró paraméterek, hanem fontosak az empirikus eloszlások kiválasztásában is, vagyis egy adott statisztikai momentum számértékeinek kiszámításában. sorozatok és speciális gráfok segítségével meghatározható az eloszlási törvény.

A valószínűségszámításban kétféle momentumot különböztetnek meg: kezdeti és központi.

A k-adik rend kezdeti mozzanata valószínűségi változó T a mennyiség matematikai elvárásának nevezzük X k , azaz

Ezért egy diszkrét valószínűségi változó esetén azt az összeggel fejezzük ki

folytonosnak pedig - integrál

A valószínűségi változó kezdeti mozzanatai közül különösen fontos az elsőrendű momentum, amely a matematikai elvárás. A magasabb rendű kezdeti momentumok elsősorban a központi momentumok kiszámítására szolgálnak.

A k-adik rend központi momentuma a valószínűségi változót a változó matematikai elvárásának nevezzük ( X-M [x])k

Ahol A = M[X].

Egy diszkrét valószínűségi változót az összeggel fejezzük ki

A folytonosnak - integrál

Egy valószínűségi változó központi momentumai közül a másodrendű központi momentum, amely a valószínűségi változó varianciáját reprezentálja.

Az elsőrendű központi momentum mindig nulla.

Harmadik kezdeti pillanat jellemzi az eloszlás aszimmetriáját (ferdeségét), és a diszkrét és folytonos valószínűségi változókra vonatkozó megfigyelések eredményei szerint a megfelelő kifejezésekkel határozza meg:

Mivel egy valószínűségi változóból álló kocka dimenziója van, a dimenzió nélküli jellemző eléréséhez, m 3 osztva a szórással a harmadik hatványra

A kapott értéket aszimmetria-együtthatónak nevezzük, és az előjeltől függően a pozitív ( Mint> 0) vagy negatív ( Mint< 0) az eloszlás ferdesége (2.3. ábra).

"Fizikai mennyiségek mértékegységei" - Az abszolút hiba egyenlő a mérőműszer skálaosztásának felével. Mikrométer. Az eredményt közvetlenül a mérőműszerrel kapjuk meg. Doboz hossza: 4 cm rövid, 5 cm felett. Minden fizikai mennyiséghez megvan a megfelelő mértékegység. Néz. Relatív hiba.

„Hosszértékek” - 2. Milyen mennyiségeket lehet egymással összehasonlítani: 2. Indokolja meg, hogy a következő feladat miért oldódik meg összeadással: 2. Indokolja meg a feladatválasztást a feladat megoldása során! Hány csomagot kaptál? Hány toll van három dobozban? A ruhákat 12 m anyagból varrták, egyenként 4 m-t ráfordítva. Hány ruhát varrtak?

"Fizikai mennyiségek" – A fizikát és más természettudományokat elválasztó határok történelmileg feltételhez kötöttek. Minden mérés eredménye mindig tartalmaz valamilyen hibát. Új téma. Sebesség. Telefonos interakció. A fizikai törvények a matematika nyelvén kifejezett mennyiségi arányok formájában jelennek meg. Mérési hiba.

„Szám érték mérés eredményeként” - „Szám érték mérés eredményeként” matematika óra 1. évfolyamon. Szegmens hosszának mérése mérőeszközzel.

"Számok és mennyiségek" - Ismerkedés a tömeg fogalmával. Tömegek összehasonlítása mérések nélkül. Római írásos számozás. Kapacitás. A tanuló megtanulja: Számok és mennyiségek (30 óra) Koordinátasugár A koordinátasugár fogalma. évfolyamon a „Számok és mennyiségek” rovatban tervezett tantárgyi eredmények. A bíborszámok képzésének általános elve a vizsgált számokon belül.

„A kereslet nagysága” – A kereslet változásának okai. A diagramon kapott DD-görbét (az angol demand - "demand" szóból) keresleti görbének nevezzük. Rugalmas kereslet (Epd>1). A kereslet mennyisége. A keresletet befolyásoló tényezők. A kereslet mennyiségének az árszinttől való függését keresletskálának nevezzük. Abszolút rugalmatlan kereslet (Epd=0).