NAKLJUČNE VREDNOSTI IN ZAKONITI NJIHOVE DISTRIBUCIJE.
Naključen imenujemo količina, ki ima vrednosti glede na kombinacijo naključnih okoliščin. Razlikovati diskretna in naključno neprekinjeno količine.
Diskretno Količina se imenuje, če ima štetno množico vrednosti. ( primer:število pacientov v ordinaciji, število črk na stran, število molekul v danem zvezku).
neprekinjeno imenujemo količina, ki lahko sprejme vrednosti v določenem intervalu. ( primer: temperatura zraka, telesna teža, človeška višina itd.)
distribucijski zakon Naključna spremenljivka je niz možnih vrednosti te količine in, tem vrednostim odgovarjajočih verjetnosti (ali pogostosti pojavljanja).
PRIMER:
Numerične značilnosti slučajnih spremenljivk.
V mnogih primerih lahko skupaj s porazdelitvijo naključne spremenljivke ali namesto nje informacije o teh količinah zagotovijo numerični parametri, imenovani numerične značilnosti naključne spremenljivke . Najpogosteje uporabljeni med njimi:
1 .Pričakovana vrednost - (povprečna vrednost) naključne spremenljivke je vsota produktov vseh možnih vrednosti in verjetnosti teh vrednosti:
2 .Razpršenost naključna spremenljivka:
3 .Standardni odklon :
TRIJE ZIKI - če je naključna spremenljivka porazdeljena po normalnem zakonu, potem odstopanje te vrednosti od srednje vrednosti v absolutni vrednosti ne presega trikratnega standardnega odstopanja
Gaussov zakon - zakon normalne porazdelitve
Pogosto so vrednosti porazdeljene normalno pravo (Gaussov zakon). glavna značilnost : je omejevalni zakon, ki se mu približujejo drugi zakoni porazdelitve.
Naključna spremenljivka je normalno porazdeljena, če je gostota verjetnosti izgleda kot:
M(X) - matematično pričakovanje naključne spremenljivke;
- standardni odklon.
Gostota verjetnosti (porazdelitvena funkcija) kaže, kako se spreminja verjetnost, povezana z intervalom dx naključna spremenljivka, odvisno od vrednosti same spremenljivke:
Osnovni koncepti matematične statistike
Statistika matematike - veja uporabne matematike, ki meji neposredno na teorijo verjetnosti. Glavna razlika med matematično statistiko in teorijo verjetnosti je v tem, da matematična statistika ne obravnava dejanj na distribucijske zakone in numerične značilnosti naključnih spremenljivk, temveč približne metode za iskanje teh zakonov in numeričnih karakteristik na podlagi eksperimentalnih rezultatov.
Osnovni pojmi matematična statistika je:
Splošna populacija;
vzorec;
variacijske serije;
moda;
mediana;
percentil,
frekvenčni poligon,
Stolpični diagram.
Prebivalstvo - velika statistična populacija, iz katere so izbrani nekateri objekti za raziskovanje
(primer: celotno prebivalstvo regije, študenti mesta itd.)
Vzorec (vzorčna populacija) - niz predmetov, izbranih iz splošne populacije.
Variacijske serije - statistična porazdelitev, sestavljena iz variant (vrednosti naključne spremenljivke) in njihovih ustreznih frekvenc.
primer:
|
X , kg | ||||||||||||
|
m |
x - vrednost slučajne spremenljivke (masa deklic, starih 10 let);
m - pogostost pojavljanja.
Moda – vrednost naključne spremenljivke, ki ustreza največji frekvenci pojavljanja. (V zgornjem primeru je 24 kg najpogostejša vrednost za modo: m = 20).
Mediana - vrednost naključne spremenljivke, ki porazdelitev deli na polovico: polovica vrednosti se nahaja desno od mediane, polovica (nič več) - na levi.
primer:
1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10
V primeru opazujemo 40 vrednosti naključne spremenljivke. Vse vrednosti so razvrščene v naraščajočem vrstnem redu, ob upoštevanju pogostosti njihovega pojavljanja. Vidimo lahko, da se 20 (polovica) od 40 vrednosti nahaja desno od izbrane vrednosti 7. Torej je 7 mediana.
Za karakterizacijo razpršenosti najdemo vrednosti, ki niso bile višje od 25 in 75% rezultatov meritev. Te vrednosti se imenujejo 25. in 75 percentili . Če mediana razpolovi porazdelitev, sta 25. in 75. percentil od nje odrezana za četrtino. (Samo mediano, mimogrede, lahko štejemo za 50. percentil.) Kot lahko vidite iz primera, sta 25. in 75. percentil 3 oziroma 8.
uporaba diskretna (točkovna) statistična porazdelitev in neprekinjeno (intervalna) statistična porazdelitev.
Zaradi jasnosti so statistične porazdelitve v obrazcu prikazane grafično frekvenčni poligon ali - histogrami .
Frekvenčni poligon - lomljena črta, katere segmenti povezujejo točke s koordinatami ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ... ali za poligon relativnih frekvenc - s koordinatami ( x 1 ,R * 1 ), (x 2 ,R * 2 ), ...(slika 1).
mm jaz / nf(x)
x x
Slika 1 Slika 2
Frekvenčni histogram - niz sosednjih pravokotnikov, zgrajenih na eni ravni črti (slika 2), osnove pravokotnikov so enake in enake dx , višine pa so enake razmerju med frekvenco in dx , oz R * Za dx (gostota verjetnosti).
primer:
|
x, kg | ||||||||||||||||||
Pričakovana vrednost. matematično pričakovanje diskretna naključna spremenljivka X, ki ima končno število vrednosti Xjaz z verjetnostmi Rjaz, se imenuje vsota:
matematično pričakovanje zvezna naključna spremenljivka X se imenuje integral produkta njegovih vrednosti X na gostoto porazdelitve verjetnosti f(x):
(6b)
Nepravilen integral (6 b) se predpostavlja, da je absolutno konvergenten (sicer rečemo, da je pričakovanje M(X) ne obstaja). Matematično pričakovanje označuje Povprečna vrednost naključna spremenljivka X. Njegova dimenzija sovpada z dimenzijo naključne spremenljivke.
Lastnosti matematičnega pričakovanja:
Razpršenost. disperzija naključna spremenljivka Xštevilka se imenuje:
Razpršenost je značilnost sipanja vrednosti naključne spremenljivke X glede na njegovo povprečno vrednost M(X). Dimenzija variance je enaka dimenziji kvadrata naključne spremenljivke. Na podlagi definicij variance (8) in matematičnega pričakovanja (5) za diskretno naključno spremenljivko in (6) za zvezno naključno spremenljivko dobimo podobne izraze za varianco:
(9)
Tukaj m = M(X).
Disperzijske lastnosti:
Standardni odklon:
(11)
Ker je dimenzija standardnega odklona enaka dimenziji naključne spremenljivke, se pogosteje kot varianca uporablja kot merilo disperzije.
trenutki distribucije. Koncepta matematičnega pričakovanja in variance sta posebna primera bolj splošnega koncepta za numerične značilnosti naključnih spremenljivk – trenutki distribucije. Porazdelitveni momenti naključne spremenljivke so predstavljeni kot matematična pričakovanja nekaterih enostavnih funkcij naključne spremenljivke. Torej, trenutek reda k glede na točko X 0 se imenuje pričakovanje M(X–X 0 )k. Trenutki glede na izvor X= 0 se imenujejo začetnih trenutkih in so označeni:
(12)
Začetni trenutek prvega reda je distribucijsko središče obravnavane naključne spremenljivke:
(13)
Trenutki glede na distribucijski center X= m klical osrednji trenutki in so označeni:
(14)
Iz (7) sledi, da je centralni moment prvega reda vedno enak nič:
Osrednji trenutki niso odvisni od izvora vrednosti naključne spremenljivke, saj s premikom za konstantno vrednost Z njegovo distribucijsko središče se premakne za isto vrednost Z, in odstopanje od središča se ne spremeni: X – m = (X – Z) – (m – Z).
Zdaj je to očitno disperzija- To središčni moment drugega reda:
Asimetrija. Osrednji trenutek tretjega reda:
(17)
služi za ocenjevanje asimetrija porazdelitve. Če je porazdelitev simetrična glede na točko X= m, potem bo centralni moment tretjega reda enak nič (kot tudi vsi centralni momenti lihih redov). Če je torej središčni moment tretjega reda drugačen od nič, porazdelitev ne more biti simetrična. Velikost asimetrije je ocenjena z uporabo brezdimenzijske vrednosti koeficient asimetrije:
(18)
Predznak koeficienta asimetrije (18) označuje desno ali levo stransko asimetrijo (slika 2).
riž. 2. Vrste asimetrije porazdelitev.
Presežek. Osrednji trenutek četrtega reda:
(19)
služi za oceno ti kurtoza, ki določa stopnjo strmine (koničastosti) porazdelitvene krivulje v bližini porazdelitvenega središča glede na normalno porazdelitveno krivuljo. Ker je za normalno porazdelitev količina vzeta kot kurtoza:
(20)
Na sl. 3 prikazuje primere porazdelitvenih krivulj z različnimi vrednostmi kurtoze. Za normalno porazdelitev E= 0. Krivulje, ki so bolj koničaste kot običajno, imajo pozitivno ekspresijo, krivulje z bolj ravnimi konicami pa negativno ekskurzijo.
riž. 3. Porazdelitvene krivulje z različnimi stopnjami strmine (kurtosis).
Trenutki višjega reda v inženirskih aplikacijah matematične statistike se običajno ne uporabljajo.
Moda
diskretna naključna spremenljivka je njena najverjetnejša vrednost. Moda neprekinjeno naključna spremenljivka je njena vrednost, pri kateri je gostota verjetnosti največja (slika 2). Če ima krivulja porazdelitve en maksimum, se imenuje porazdelitev unimodalno. Če ima porazdelitvena krivulja več kot en maksimum, se imenuje porazdelitev polimodalni. Včasih obstajajo porazdelitve, katerih krivulje nimajo maksimuma, ampak minimum. Take distribucije imenujemo antimodalno. V splošnem primeru način in matematično pričakovanje naključne spremenljivke ne sovpadata. V konkretnem primeru za modalno, tj. ima modus, simetrično porazdelitev, in pod pogojem, da obstaja matematično pričakovanje, slednje sovpada z modusom in središčem simetrije porazdelitve.
Mediana naključna spremenljivka X je njen pomen jaz, za katero velja enakost: tj. enako verjetno je, da naključna spremenljivka X bo manj ali več jaz. Geometrično mediana je abscisa točke, v kateri je površina pod porazdelitveno krivuljo razdeljena na pol (slika 2). V primeru simetrične modalne porazdelitve so mediana, način in povprečje enaki.
Pri reševanju številnih praktičnih problemov ni vedno treba popolnoma karakterizirati naključne spremenljivke, tj. določiti zakonov porazdelitve. Poleg tega je konstrukcija funkcije ali niza porazdelitev za diskretno in gostoto - za zvezno naključno spremenljivko okorna in nepotrebna.
Včasih je dovolj navesti posamezne številčne parametre, ki delno označujejo značilnosti porazdelitve. Potrebno je poznati neko povprečno vrednost vsake naključne spremenljivke, okoli katere se združuje njena možna vrednost, ali stopnjo razpršenosti teh vrednosti glede na povprečje itd.
Značilnosti najpomembnejših značilnosti porazdelitve imenujemo numerične značilnosti naključna spremenljivka. Z njihovo pomočjo je olajšano reševanje številnih verjetnostnih problemov, ne da bi zanje določili zakone porazdelitve.
Najpomembnejša značilnost položaja naključne spremenljivke na realni osi je pričakovana vrednost M[X]= a, ki se včasih imenuje srednja vrednost naključne spremenljivke. Za diskretna naključna spremenljivka X z možne vrednosti x 1 , x 2 , … , x n in verjetnosti str 1 , str 2 ,… , p n se določi s formulo
Glede na to, da je =1, lahko zapišemo
torej matematično pričakovanje Diskretna naključna spremenljivka je vsota produktov njenih možnih vrednosti in njihovih verjetnosti. Aritmetična sredina opazovanih vrednosti naključne spremenljivke z velikim številom poskusov se približa njenemu matematičnemu pričakovanju.
Za zvezna naključna spremenljivka X matematično pričakovanje ne določa vsota, ampak integral
Kje f(x) - gostota porazdelitve količine x.
Matematično pričakovanje ne obstaja za vse naključne spremenljivke. Pri nekaterih od njih se vsota ali integral razlikuje in zato ni pričakovanja. V teh primerih je treba zaradi natančnosti omejiti obseg možnih sprememb naključne spremenljivke. x, za katere bo vsota ali integral konvergirala.
V praksi se uporabljajo tudi takšne značilnosti položaja naključne spremenljivke, kot sta način in mediana.
Naključna modanjena najverjetnejša vrednost se imenuje. V splošnem primeru mod in matematično pričakovanje ne sovpadata.
Mediana naključne spremenljivkeX je njena vrednost, glede na katero je enako verjetno, da dobimo večjo ali manjšo vrednost naključne spremenljivke., tj. to je abscisa točke, v kateri je območje, ki ga omejuje porazdelitvena krivulja, razdeljeno na pol. Za simetrično porazdelitev so vse tri značilnosti enake.
Poleg matematičnega pričakovanja, modusa in mediane se v teoriji verjetnosti uporabljajo tudi druge karakteristike, od katerih vsaka opisuje določeno lastnost porazdelitve. Na primer, numerične značilnosti, ki označujejo disperzijo naključne spremenljivke, tj. kažejo, kako tesno so njene možne vrednosti razvrščene okoli matematičnega pričakovanja, sta varianca in standardni odklon. Bistveno dopolnjujejo naključno spremenljivko, saj v praksi pogosto obstajajo naključne spremenljivke z enakimi matematičnimi pričakovanji, vendar različnimi porazdelitvami. Pri določanju značilnosti sipanja razlika med naključno spremenljivko X in njegovo matematično pričakovanje, tj.
Kje A = M[X] - pričakovana vrednost.
Ta razlika se imenuje centrirana naključna spremenljivka, ustrezna vrednost x, in označeno :
Varianca naključne spremenljivke je matematično pričakovanje kvadrata odstopanja vrednosti od njenega matematičnega pričakovanja, to je:
D[ X]=M[( X-a) 2 ], oz
D[ X]=M[ 2 ].
Varianca naključne spremenljivke je priročna značilnost disperzije in disperzije vrednosti naključne spremenljivke okoli njenega matematičnega pričakovanja. Vendar pa je brez vidnosti, saj ima dimenzijo kvadrata naključne spremenljivke.
Za vizualno karakterizacijo sipanja je primerneje uporabiti količino, katere dimenzija sovpada z dimenzijo naključne spremenljivke. Ta vrednost je standardni odklon naključna spremenljivka, ki je pozitivni kvadratni koren njene variance.
Matematično pričakovanje, način, mediana, varianca, standardni odklon – najpogosteje uporabljene numerične značilnosti naključnih spremenljivk. Pri reševanju praktičnih problemov, ko ni mogoče določiti zakona porazdelitve, je približen opis naključne spremenljivke njena numerična značilnost, ki izraža neko lastnost porazdelitve.
Poleg glavnih značilnosti porazdelitve središča (pričakovanja) in disperzije (razpršenosti) je pogosto treba opisati druge pomembne značilnosti porazdelitve - simetrija in ostrina, ki jih lahko predstavimo z distribucijskimi momenti.
Porazdelitev naključne spremenljivke je popolnoma podana, če so znani vsi njeni momenti. Vendar pa je veliko porazdelitev mogoče v celoti opisati z uporabo prvih štirih momentov, ki niso le parametri, ki opisujejo porazdelitve, ampak so pomembni tudi pri izbiri empiričnih porazdelitev, to je z izračunom numeričnih vrednosti momentov za dano statistično serije in z uporabo posebnih grafov lahko določimo distribucijski zakon.
V teoriji verjetnosti ločimo dve vrsti trenutkov: začetni in osrednji.
Začetni trenutek k-tega reda naključna spremenljivka T se imenuje matematično pričakovanje količine X k, tj.
Zato je za diskretno naključno spremenljivko izražena z vsoto
in za neprekinjeno - integral
Med začetnimi momenti naključne spremenljivke je še posebej pomemben moment prvega reda, ki je matematično pričakovanje. Za izračun osrednjih momentov se uporabljajo predvsem začetni momenti višjega reda.
Osrednji moment k-tega reda naključna spremenljivka se imenuje matematično pričakovanje spremenljivke ( X - M [X])k
Kje A = M[X].
Za diskretno naključno spremenljivko je izražena z vsoto
A za kontinuirano - integralno
Med osrednjimi momenti naključne spremenljivke je središčni moment drugega reda, ki predstavlja varianco naključne spremenljivke.
Centralni moment prvega reda je vedno nič.
Tretji začetni trenutek označuje asimetrijo (nasičenost) porazdelitve in je glede na rezultate opazovanj za diskretne in zvezne naključne spremenljivke določena z ustreznimi izrazi:
Ker ima dimenzijo kocke naključne spremenljivke, da bi dobili brezdimenzijsko karakteristiko, m 3 deljeno s standardnim odklonom na tretjo potenco
Nastala vrednost se imenuje koeficient asimetrije in glede na znak označuje pozitivno ( Kot> 0) ali negativno ( Kot< 0) asimetričnost porazdelitve (slika 2.3).
"Merske enote fizikalnih količin" - Absolutna napaka je enaka polovici delitve lestvice merilnega instrumenta. Mikrometer. Rezultat dobimo neposredno z merilnim instrumentom. Dolžina škatle: 4 cm krajša, 5 cm čez. Za vsako fizikalno količino obstajajo ustrezne merske enote. Pazi. Relativna napaka.
“Vrednosti dolžin” - 2. Katere količine lahko primerjamo med seboj: 2. Pojasnite, zakaj je naslednji problem rešen s seštevanjem: 2. Utemeljite izbiro dejanja pri reševanju problema. Koliko paketov ste dobili? Koliko pisal je v treh od teh škatel? Obleke so sešili iz 12 m blaga, za vsako so porabili 4 m Koliko oblek so sešili?
"Fizikalne količine" - Meje, ki ločujejo fiziko od drugih naravoslovnih ved, so zgodovinsko pogojene. Rezultat vsake meritve vedno vsebuje neko napako. Nova tema. Hitrost. Telefonska interakcija. Fizikalni zakoni so predstavljeni v obliki kvantitativnih razmerij, izraženih v jeziku matematike. Napaka pri merjenju.
"Število kot rezultat merjenja vrednosti" - "Število kot rezultat merjenja vrednosti" lekcija matematike v 1. razredu. Merjenje dolžine odseka z merilom.
"Številke in količine" - Seznanitev s konceptom mase. Primerjava mas brez meritev. Rimsko pisano številčenje. Zmogljivost. Študent se bo naučil: Števila in količine (30 ur) Koordinatni žarek Pojem koordinatni žarek. Načrtovani predmetni rezultati v razdelku "Številke in količine" v 2. razredu. Splošno načelo oblikovanja kardinalnih števil znotraj proučevanih števil.
"Magnituda povpraševanja" - Vzroki za spremembe povpraševanja. Krivulja DD, pridobljena na grafikonu (iz angleškega povpraševanja - "povpraševanje"), se imenuje krivulja povpraševanja. Elastično povpraševanje (Epd>1). Količina povpraševanja. Dejavniki, ki vplivajo na povpraševanje. Odvisnost količine povpraševanja od ravni cen imenujemo lestvica povpraševanja. Absolutno neelastično povpraševanje (Epd=0).
