Függvénygrafikony = fejsze 2 + n .

Magyarázat.

y = 2x 2 + 4.
y = 2x 2, négy egységgel feljebb mozgatja a tengelyt y. Természetesen ebben az esetben minden érték y természetesen 4-gyel nő.

Itt van a függvényértékek táblázata y = 2x 2:

x
y

És itt az értéktáblázat y = 2x 2 + 4:

x
y

A táblázatból látjuk, hogy a második függvény parabolájának teteje 4 egységgel magasabb, mint az első parabola (koordinátái 0;4). És az értékek y a második függvénynek 4 további értéke van y első funkciója.

Függvénygrafikony = a(x – m) 2 .

Magyarázat.

Például egy függvényt kell ábrázolnia y = 2 (x – 6) 2 .
Ez azt jelenti, hogy a parabola, amely a függvény grafikonja y = 2x 2, hat egységet mozdít jobbra a tengely mentén x(a grafikonon - piros parabola).

Függvénygrafikony = a(x – m) 2 + n.

A két függvény elvezet minket a harmadik függvényhez: y = a(x – m) 2 + n.

Magyarázat:

Például egy függvényt kell ábrázolnia y = 2 (x – 6) 2 + 2.
Ez azt jelenti, hogy a parabola, amely a függvény grafikonja y = 2x 2 , 6 egységgel jobbra (m érték) és 2 egységgel feljebb (n érték). A grafikonon látható piros parabola ezeknek a mozgásoknak az eredménye.

1. Hatványfüggvény, tulajdonságai és grafikonja;

2. Átalakítások:

Párhuzamos átvitel;

Szimmetria a koordinátatengelyekről;

Szimmetria az eredetről;

Az y = x egyenes szimmetriája;

Nyújtás és zsugorítás a koordinátatengelyek mentén.

3. Egy exponenciális függvény, tulajdonságai és gráfja, hasonló transzformációk;

4. Logaritmikus függvény, tulajdonságai és grafikonja;

5. Trigonometrikus függvény, tulajdonságai és grafikonja, hasonló transzformációk (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Függvény: y = x\n - tulajdonságai és grafikonja.

Hatványfüggvény, tulajdonságai és grafikonja

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1/x stb. Mindezek a függvények a hatványfüggvény speciális esetei, azaz a függvény y = xp, ahol p egy adott valós szám.
A hatványfüggvény tulajdonságai és grafikonja alapvetően függ egy valós kitevővel rendelkező hatvány tulajdonságaitól, és különösen attól, hogy milyen értékekre xÉs p van értelme xp. Folytassuk a különböző esetek hasonló megfontolását, attól függően
kitevő p.

1. Index p = 2n páros természetes szám.

y=x2n, Ahol n természetes szám, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• a definíciós tartomány minden valós szám, azaz az R halmaz;
• értékkészlet - nem negatív számok, azaz y nagyobb vagy egyenlő, mint 0;
• funkció y=x2n sőt, mert x 2n = (-x) 2n
• a függvény az intervallumon csökken x< 0 és növeli az intervallumot x > 0.

Függvénygrafikon y=x2n ugyanolyan alakú, mint például egy függvény grafikonja y=x4.

2. Mutató p = 2n - 1- páratlan természetes szám

Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x2n-1, ahol egy természetes szám, a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• definíciós tartomány - R halmaz;
• értékkészlet - R készlet;
• funkció y=x2n-1 furcsa, mert (- x) 2n-1= x 2n-1;
• a függvény a teljes valós tengelyen növekszik.

Függvénygrafikon y=x2n-1 y=x3.

3. Mutató p=-2n, Ahol n- természetes szám.

Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x-2n=1/x2n a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• értékkészlet - pozitív számok y>0;
• függvény y = 1/x2n sőt, mert 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• a függvény növekszik az x0 intervallumon.

Az y függvény grafikonja = 1/x2n ugyanolyan alakú, mint például az y függvény grafikonja = 1/x2.

4. Mutató p = -(2n-1), Ahol n- természetes szám.
Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x-(2n-1) a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• a definíciós tartomány az R halmaz, kivéve x = 0;
• értékkészlet - R készlet, kivéve, ha y = 0;
• funkció y=x-(2n-1) furcsa, mert (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• a függvény az intervallumokon csökken x< 0 És x > 0.

Függvénygrafikon y=x-(2n-1) ugyanolyan alakú, mint például a függvény grafikonja y = 1/x3.

Az y \u003d x2n függvény, ahol n a pozitív egész számok halmazához tartozik. Egy ilyen hatványfüggvénynek páros pozitív kitevője a=2n. Mivel mindig x2n=(-x)2n, az összes ilyen függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. Minden y = x2n alakú függvény, amely a pozitív egészek halmazába tartozik, a következő azonos tulajdonságokkal rendelkezik: X=R X? =(-?;?) Y=Az arcsin függvény tulajdonságai

1. [Szerkesztés] Az arcsin függvény lekérése

Adott egy függvény Az egészben domainek történetesen ő darabonként monoton, és ebből ered a fordított megfelelés nem függvény. Ezért azt az intervallumot vesszük figyelembe, amelyen szigorúan növekszik, és minden értéket vesz fel tartományok- . Mivel az intervallum függvényében az argumentum minden értéke a függvény egyetlen értékének felel meg, akkor ezen a szegmensen létezik inverz függvény amelynek grafikonja szimmetrikus egy függvény grafikonjára egy szakaszon egy egyeneshez képest

Az y = x p hatványfüggvény tartományában a következő képletek érvényesek:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Hatványfüggvények tulajdonságai és grafikonjaik

Hatványfüggvény nullával egyenlő kitevővel, p = 0

Ha az y = x p hatványfüggvény kitevője nulla, p = 0, akkor a hatványfüggvény minden x ≠ 0-ra definiálva, és állandó, egyenlő eggyel:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Hatványfüggvény természetes páratlan kitevővel, p = n = 1, 3, 5, ...

Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek természetes páratlan kitevője n = 1, 3, 5, ... . Egy ilyen mutatót a következőképpen is felírhatunk: n = 2k + 1, ahol k = 0, 1, 2, 3, ... egy nem negatív egész szám. Az alábbiakban az ilyen függvények tulajdonságait és grafikonjait mutatjuk be.

Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja természetes páratlan kitevővel az n = 1, 3, 5, ... kitevő különböző értékeire.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: -∞ < y < ∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
-∞-nél< x < 0 выпукла вверх
0-nál< x < ∞ выпукла вниз
Töréspontok: x=0, y=0
x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1-nél,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
ha x = 0, y(0) = 0 n = 0
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
n = 1 esetén a függvény önmagával inverz: x = y
n ≠ 1 esetén az inverz függvény az n fokú gyöke:

Hatványfüggvény természetes páros kitevővel, p = n = 2, 4, 6, ...

Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek természetes páros kitevője n = 2, 4, 6, ... . Egy ilyen mutatót felírhatunk így is: n = 2k, ahol k = 1, 2, 3, ... természetes szám. Az alábbiakban az ilyen függvények tulajdonságait és grafikonjait mutatjuk be.

Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja természetes páros kitevővel az n = 2, 4, 6, ... kitevő különböző értékeire.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: 0 ≤ év< ∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 esetén monoton csökken
x ≥ 0 esetén monoton növekszik
Extrémek: minimum, x=0, y=0
Konvex: domború lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
ha x = 0, y(0) = 0 n = 0
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
n = 2 esetén négyzetgyök:
n ≠ 2 esetén az n fok gyöke:

Hatványfüggvény egész negatív kitevővel, p = n = -1, -2, -3, ...

Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek negatív egész kitevője n = -1, -2, -3, ... . Ha n = -k-t teszünk, ahol k = 1, 2, 3, ... egy természetes szám, akkor a következőképpen ábrázolható:

Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja negatív egész kitevővel az n = -1, -2, -3, ... kitevő különböző értékeire.

Páratlan kitevő, n = -1, -3, -5, ...

Az alábbiakban az y = x n függvény tulajdonságait mutatjuk be, páratlan negatív kitevőjű n = -1, -3, -5, ... .

Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y ≠ 0
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0 : выпукла вверх
x > 0 esetén: konvex lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
ha n = -1,
az n< -2 ,

Páros kitevő, n = -2, -4, -6, ...

Az alábbiakban az y = x n függvény tulajdonságait mutatjuk be páros negatív kitevőjű n = -2, -4, -6, ... .

Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y > 0
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 : монотонно возрастает
x > 0 esetén: monoton csökkenő
Extrémek: Nem
Konvex: domború lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel: y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
ha n = -2,
az n< -2 ,

Hatványfüggvény racionális (tört) kitevővel

Tekintsünk egy y = x p hatványfüggvényt racionális (tört) kitevővel, ahol n egész szám, m > 1 természetes szám. Ráadásul n-nek, m-nek nincs közös osztója.

A törtmutató nevezője páratlan

Legyen a törtkitevő nevezője páratlan: m = 3, 5, 7, ... . Ebben az esetben az x p hatványfüggvény pozitív és negatív x értékekre is definiálva van. Tekintsük az ilyen hatványfüggvények tulajdonságait, ha a p kitevő bizonyos határokon belül van.

p negatív, p< 0

Legyen a racionális kitevő (m = 3, 5, 7, ... páratlan nevezővel) kisebb nullánál: .

Exponenciális függvények grafikonjai racionális negatív kitevővel a kitevő különböző értékeire, ahol m = 3, 5, 7, ... páratlan.

Páratlan számláló, n = -1, -3, -5, ...

Itt vannak az y = x p hatványfüggvény tulajdonságai racionális negatív kitevővel, ahol n = -1, -3, -5, ... páratlan negatív egész szám, m = 3, 5, 7 ... egy páratlan természetes szám.

Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y ≠ 0
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0 : выпукла вверх
x > 0 esetén: konvex lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = (-1) n = -1
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:

Páros számláló, n = -2, -4, -6, ...

Egy racionális negatív kitevővel rendelkező y = x p hatványfüggvény tulajdonságai, ahol n = -2, -4, -6, ... páros negatív egész szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes szám .

Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y > 0
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 : монотонно возрастает
x > 0 esetén: monoton csökkenő
Extrémek: Nem
Konvex: domború lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel: y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:

A p-érték pozitív, kisebb, mint egy, 0< p < 1

Hatványfüggvény grafikonja racionális kitevővel (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Páratlan számláló, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Tartomány: -∞ < x < +∞
Több érték: -∞ < y < +∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0 : выпукла вниз
x > 0 esetén: konvex felfelé
Töréspontok: x=0, y=0
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = -1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

Páros számláló, n = 2, 4, 6, ...

Bemutatjuk az y = x p hatványfüggvény tulajdonságait racionális kitevővel, amely 0-n belül van.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Tartomány: -∞ < x < +∞
Több érték: 0 ≤ év< +∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 : монотонно убывает
x > 0 esetén: monoton növekvő
Extrémek: minimum x = 0, y = 0
Konvex: felfelé konvex x ≠ 0
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Jel: x ≠ 0 esetén y > 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
ha x = -1, y(-1) = 1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

A p kitevő nagyobb egynél, p > 1

Egy hatványfüggvény grafikonja racionális kitevővel (p > 1 ) a kitevő különböző értékeire, ahol m = 3, 5, 7, ... páratlan.

Páratlan számláló, n = 5, 7, 9, ...

Egynél nagyobb racionális kitevőjű y = x p hatványfüggvény tulajdonságai: . Ahol n = 5, 7, 9, ... páratlan természetes szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes szám.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: -∞ < y < ∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
-∞-nél< x < 0 выпукла вверх
0-nál< x < ∞ выпукла вниз
Töréspontok: x=0, y=0
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = -1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

Páros számláló, n = 4, 6, 8, ...

Egynél nagyobb racionális kitevőjű y = x p hatványfüggvény tulajdonságai: . Ahol n = 4, 6, 8, ... páros természetes szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes szám.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: 0 ≤ év< ∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 монотонно убывает
x > 0 esetén monoton növekszik
Extrémek: minimum x = 0, y = 0
Konvex: domború lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
ha x = -1, y(-1) = 1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

A törtmutató nevezője páros

Legyen a törtkitevő nevezője páros: m = 2, 4, 6, ... . Ebben az esetben az x p hatványfüggvény nincs megadva az argumentum negatív értékeihez. Tulajdonságai egybeesnek egy irracionális kitevővel rendelkező hatványfüggvényével (lásd a következő részt).

Hatványfüggvény irracionális kitevővel

Tekintsünk egy y = x p hatványfüggvényt p irracionális kitevőjével. Az ilyen függvények tulajdonságai abban különböznek a fent leírtaktól, hogy nincsenek meghatározva az x argumentum negatív értékeihez. Az argumentum pozitív értékei esetén a tulajdonságok csak a p kitevő értékétől függenek, és nem függenek attól, hogy p egész szám, racionális vagy irracionális.

y = x p a p kitevő különböző értékeihez.

Teljesítmény funkció negatív p< 0

Tartomány: x > 0
Több érték: y > 0
Monoton: monoton csökken
Konvex: domború lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Korlátok: ;
magánérték: Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1

Hatványfüggvény pozitív kitevővel p > 0

A mutató kisebb, mint egy 0< p < 1

Tartomány: x ≥ 0
Több érték: y ≥ 0
Monoton: monoton növekszik
Konvex: domború felfelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
Privát értékek: Ha x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1

A mutató nagyobb, mint egy p > 1

Tartomány: x ≥ 0
Több érték: y ≥ 0
Monoton: monoton növekszik
Konvex: domború lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
Privát értékek: Ha x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.