Lektion und Präsentation zum Thema: „Umfang und Fläche eines Rechtecks“

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Was ist ein Rechteck und ein Quadrat?

Rechteck ist ein Viereck mit allen rechten Winkeln. Die gegenüberliegenden Seiten sind also einander gleich.

Quadrat ist ein Rechteck mit gleichen Seiten und Winkeln. Es wird als regelmäßiges Viereck bezeichnet.

Vierecke, einschließlich Rechtecke und Quadrate, werden mit 4 Buchstaben bezeichnet – Eckpunkten. Zur Bezeichnung von Eckpunkten werden lateinische Buchstaben verwendet: A B C D...

Beispiel.

Es liest sich so: Viereck ABCD; Quadrat EFGH.

Wie groß ist der Umfang eines Rechtecks? Formel zur Berechnung des Umfangs

Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen aller Seiten des Rechtecks ​​oder die Summe aus Länge und Breite multipliziert mit 2.

Der Umfang wird durch den lateinischen Buchstaben angegeben P. Da der Umfang die Länge aller Seiten des Rechtecks ​​ist, wird der Umfang in Längeneinheiten angegeben: mm, cm, m, dm, km.

Beispielsweise wird der Umfang eines Rechtecks ​​ABCD als bezeichnet P ABCD, wobei A, B, C, D die Eckpunkte des Rechtecks ​​sind.

Schreiben wir die Formel für den Umfang des Vierecks ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Beispiel.
Das Rechteck ABCD hat die Seiten AB=CD=5 cm und AD=BC=3 cm.
Lassen Sie uns P ABCD definieren.

Lösung:
1. Zeichnen wir ein Rechteck ABCD mit den Anfangsdaten.
2. Schreiben wir eine Formel zur Berechnung des Umfangs dieses Rechtecks:

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD=2*(5cm+3cm)=2*8cm=16cm

Antwort: P ABCD = 16 cm.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Quadrats

Wir haben eine Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Rechtecks.

P ABCD=2*(AB+BC)

Lassen Sie uns damit den Umfang eines Quadrats ermitteln. Wenn wir davon ausgehen, dass alle Seiten des Quadrats gleich sind, erhalten wir:

P ABCD=4*AB

Beispiel.
Gegeben sei ein Quadrat ABCD mit einer Seitenlänge von 6 cm. Bestimmen Sie den Umfang des Quadrats.

Lösung.
1. Zeichnen Sie ein Quadrat ABCD mit den Originaldaten.

2. Erinnern Sie sich an die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Quadrats:

P ABCD=4*AB

3. Setzen Sie unsere Daten in die Formel ein:

P ABCD=4*6cm=24cm

Antwort: P ABCD = 24 cm.

Probleme beim Ermitteln des Umfangs eines Rechtecks

1. Messen Sie die Breite und Länge der Rechtecke. Bestimmen Sie ihren Umfang.

2. Zeichnen Sie ein Rechteck ABCD mit den Seitenlängen 4 cm und 6 cm. Bestimmen Sie den Umfang des Rechtecks.

3. Zeichnen Sie ein CEOM-Quadrat mit einer Seitenlänge von 5 cm. Bestimmen Sie den Umfang des Quadrats.

Wo wird die Berechnung des Umfangs eines Rechtecks ​​angewendet?

1. Ein Grundstück ist gegeben, es muss mit einem Zaun umgeben sein. Wie lang wird der Zaun sein?

Bei dieser Aufgabe ist es notwendig, den Umfang des Geländes genau zu berechnen, um kein zusätzliches Material für den Zaunbau zu kaufen.

2. Die Eltern beschlossen, Reparaturen im Kinderzimmer durchzuführen. Um die Anzahl der Tapeten richtig berechnen zu können, müssen Sie den Umfang des Raums und seine Fläche kennen.
Bestimmen Sie die Länge und Breite des Raumes, in dem Sie wohnen. Bestimmen Sie den Umfang Ihres Raumes.

Wie groß ist die Fläche eines Rechtecks?

Quadrat- Dies ist ein numerisches Merkmal der Figur. Die Fläche wird in quadratischen Längeneinheiten gemessen: cm 2, m 2, dm 2 usw. (Zentimeter im Quadrat, Meter im Quadrat, Dezimeter im Quadrat usw.)
In Berechnungen wird es mit dem lateinischen Buchstaben bezeichnet S.

Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu ermitteln, multiplizieren Sie die Länge des Rechtecks ​​mit seiner Breite.
Die Fläche des Rechtecks ​​wird berechnet, indem die Länge von AK mit der Breite von KM multipliziert wird. Schreiben wir dies als Formel.

S AKMO=AK*KM

Beispiel.
Wie groß ist die Fläche des Rechtecks ​​AKMO, wenn seine Seiten 7 cm und 2 cm betragen?

S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.

Antwort: 14 cm 2.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Quadrats

Die Fläche eines Quadrats lässt sich ermitteln, indem man die Seite mit sich selbst multipliziert.

Beispiel.
In diesem Beispiel wird die Fläche des Quadrats berechnet, indem die Seite AB mit der Breite BC multipliziert wird. Da sie jedoch gleich sind, wird die Seite AB mit AB multipliziert.

S ABCO = AB * BC = AB * AB

Beispiel.
Finden Sie die Fläche des Quadrats AKMO mit einer Seitenlänge von 8 cm.

S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2

Antwort: 64 cm 2.

Probleme, die Fläche eines Rechtecks ​​und eines Quadrats zu finden

1. Gegeben sei ein Rechteck mit den Seitenlängen 20 mm und 60 mm. Berechnen Sie seine Fläche. Schreiben Sie Ihre Antwort in Quadratzentimetern.

2. Es wurde ein Vorstadtgebiet mit einer Größe von 20 x 30 m gekauft. Bestimmen Sie die Fläche des Ferienhauses und notieren Sie die Antwort in Quadratzentimetern.

Das Verhältnis zwischen dem Radius eines Kreises und der Seitenlänge eines Quadrats. Der Abstand vom Mittelpunkt des umschriebenen Kreises bis zum Scheitelpunkt des darin eingeschriebenen Quadrats ist gleich dem Radius des Kreises. Um die Seite eines Quadrats zu finden S, ist es notwendig, das Quadrat in 2 rechtwinklige Dreiecke mit einer Diagonale zu teilen. Jedes dieser Dreiecke hat gleiche Seiten A Und B und gemeinsame Hypotenuse Mit, gleich dem doppelten Radius des umschriebenen Kreises ( 2r).

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Seite eines Quadrats zu ermitteln. Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck mit Schenkeln A Und B und Hypotenuse Mit: a 2 + b 2 = c 2. Da in unserem Fall A = B(Denken Sie daran, dass wir über ein Quadrat nachdenken!) und das wissen wir c = 2r, dann können wir diese Gleichung umschreiben und vereinfachen:

• a 2 + a 2 = (2r) 2 ""; Vereinfachen wir nun diese Gleichung:
• 2a 2 = 4(r) 2; Jetzt dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 2:
• (a 2) = 2(r) 2; Ziehen wir nun die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung:
• a = √(2r). Somit ist s = √ (2r).

1. Multiplizieren Sie die gefundene Seite des Quadrats mit 4, um seinen Umfang zu ermitteln. In diesem Fall beträgt der Umfang des Quadrats: P = 4√(2r). Diese Formel kann wie folgt umgeschrieben werden: P = 4√2 * 4√r = 5,657r, wobei r der Radius des umschriebenen Kreises ist.

2. Beispiel. Betrachten Sie ein Quadrat, das in einen Kreis mit einem Radius von 10 eingeschrieben ist. Dies bedeutet, dass die Diagonale des Quadrats 2 * 10 = 20 beträgt. Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir: 2(a 2) = 20 2, also 2a 2 = 400. Nun dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 2 und erhalten: a 2 = 200. Nun ziehen wir die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung und erhalten: a = 14,142. Multiplizieren Sie diesen Wert mit 4 und berechnen Sie den Umfang des Quadrats: P=56,57.

   • Beachten Sie, dass Sie das gleiche Ergebnis erhalten könnten, indem Sie einfach radius(10) mit 5,657 multiplizieren: 10 * 5,567 = 56,57 ; Eine solche Methode ist jedoch schwer zu merken, daher ist es besser, den oben beschriebenen Berechnungsprozess zu verwenden.

Ein Quadrat ist ein positives Viereck (oder eine Raute), bei dem alle Winkel rechtwinklig und die Seiten gleich sind. Wie jedes andere regelmäßige Polygon, Quadrat rechnen dürfen Umfang und Bereich. Wenn Bereich Quadrat schon berühmt, dann entdecke seine Seiten, und danach und Umfang wird nicht schwierig sein.

Anweisung

1. Quadrat Quadrat wird durch die Formel gefunden: S = a? Dies bedeutet, dass, um die Fläche zu berechnen Quadrat, ist es notwendig, die Längen seiner beiden Seiten miteinander zu multiplizieren. Als Ergebnis, wenn Sie die Gegend kennen Quadrat, dann ist es durch Ziehen der Wurzel aus diesem Wert möglich, die Länge der Seite herauszufinden Quadrat.Beispiel: Fläche Quadrat 36 cm ?, um die Seite davon herauszufinden Quadrat, müssen Sie die Quadratwurzel des Flächenwerts ziehen. Also die Seitenlänge eines gegebenen Quadrat 6 cm

2. Zur Findung Umfang A Quadrat Sie müssen die Längen aller Seiten addieren. Mit Hilfe einer Formel lässt sich dies wie folgt ausdrücken: P = a + a + a + a. Ziehen wir die Wurzel aus dem Flächenwert Quadrat, und danach den resultierenden Wert viermal addieren, dann ist es möglich zu finden Umfang Quadrat .

3. Beispiel: Gegeben sei ein Quadrat mit einer Fläche von 49 cm². Es muss entdeckt werden Umfang.Lösung: Zuerst müssen Sie den Bereich entwurzeln Quadrat: ?49 = 7 cm Dann durch Berechnung der Seitenlänge Quadrat, es ist erlaubt zu berechnen und Umfang: 7+7+7+7 = 28 cm Antwort: Umfang Quadrat Fläche 49 cm? beträgt 28 cm

Bei geometrischen Problemen ist es oft erforderlich, die Länge der Seite eines Quadrats zu ermitteln, wenn seine anderen Parameter bekannt sind – wie Fläche, Diagonale oder Umfang.

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• Taschenrechner

Anweisung

1. Wenn die Fläche des Quadrats bekannt ist, müssen Sie zum Ermitteln der Seite des Quadrats die Quadratwurzel aus dem numerischen Wert der Fläche ziehen (da die Fläche des Quadrats gleich dem Quadrat seiner Fläche ist). Seite): a =? S, wobei a die Länge der Seite des Quadrats ist; S die Fläche des Quadrats ist. Die Einheit der Seite eines Quadrats ist die lineare Längeneinheit, die der Einheit von entspricht Bereich. Sagen wir, wenn die Fläche eines Quadrats in Quadratzentimetern angegeben wird, dann erhält man die Länge seiner Seite primitiv in Zentimetern. Beispiel: Die Fläche eines Quadrats beträgt 9 Quadratmeter. Ermitteln Sie die Länge des Quadrats Seite des Quadrats. Lösung: a =?

2. Wenn der Umfang des Quadrats bekannt ist, muss zur Bestimmung der Seitenlänge der Zahlenwert des Umfangs durch vier geteilt werden (da das Quadrat vier Seiten gleicher Länge hat): a = P / 4, wobei: a die Länge der Seite des Quadrats ist; P der Umfang des Quadrats ist. Die Einheit für die Seite des Quadrats ist dieselbe lineare Längeneinheit wie der Umfang. Angenommen, der Umfang eines Quadrats wird in Zentimetern angegeben, dann wird auch die Länge seiner Seite in Zentimetern angegeben. Beispiel: Der Umfang eines Quadrats beträgt 20 Meter. Ermitteln Sie die Länge der Seite des Quadrats. Lösung: a= 20/4=5 Antwort: Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 5 Meter.

3. Wenn die Länge der Diagonale des Quadrats bekannt ist, ist die Länge seiner Seite gleich der Länge seiner Diagonale dividiert durch die Quadratwurzel aus 2 (nach dem Satz des Pythagoras, weil die benachbarten Seiten des Quadrats und die Diagonale bilden ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck): a = d /? 2 (weil .a^2+a^2=d^2), wobei: a die Länge der Seite des Quadrats ist; d ist die Länge der Diagonale des Quadrats. Wenn beispielsweise die Diagonale eines Quadrats in Zentimetern gemessen wird, wird die Länge seiner Seite in Zentimetern angegeben. Beispiel: Die Diagonale eines Quadrats beträgt 10 Meter. Ermitteln Sie die Länge der Seite des Quadrats. Lösung: a = 10 /? 10/?2, also etwa 1,071 Meter.

Das Quadrat ist eine schöne und einfache flache geometrische Figur. Es ist ein Rechteck mit gleichen Seiten. So entdecken Sie Umfang Quadrat wenn die Länge seiner Seite bekannt ist?

Anweisung

1. Es lohnt sich, sich vor allen daran zu erinnern Umfang ist nichts anderes als die Summe der Seitenlängen einer geometrischen Figur. Das Quadrat, das wir betrachten, hat vier Seiten. Darüber hinaus per Definition Quadrat, alle diese Seiten sind einander gleich. Aus diesen Prämissen folgt eine einfache Formel zum Finden Umfang A Quadrat – Umfang Quadrat gleich der Länge der Seite Quadrat multipliziert mit vier: P = 4a, wobei a die Länge der Seite ist Quadrat .

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Der Umfang wird Universal genannt Länge Die Grenzen der Figur liegen häufiger als jeweils auf der Ebene. Ein Quadrat ist ein positives Viereck, entweder eine Raute, bei der alle Winkel rechtwinklig sind, oder ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten und Winkel gleich sind.

Du wirst brauchen

• Geometriekenntnisse.

Anweisung

1. Umfang Quadrat ist gleich der Summe der Längen seiner Seiten. Da ein Quadrat im Wesentlichen ein Viereck ist, hat es vier Seiten, was bedeutet, dass der Umfang gleich der Summe der Längen der vier Seiten ist, oder P = a + b + c + d.

2. Ein Quadrat ist, wie aus der Definition hervorgeht, eine echte geometrische Figur, das heißt, alle seine Seiten sind gleich. Also a=b=c=d. Daher ist P = a+a+a+a oder P = 4*a.

3. Seite lassen Quadrat ist 4, also a=3. Dann der Umfang oder die Länge Quadrat, gemäß der erhaltenen Formel, ist gleich P = 4*3 oder P=12. Die Zahl 12 ist die Länge oder, was dasselbe ist, der Umfang Quadrat .

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Beachten Sie!
Der Umfang eines Quadrats ist immer korrekt, ebenso wie jede andere Länge.

Hilfreicher Rat
Ebenso ist es möglich, den Umfang einer Raute zu ermitteln, da das Quadrat ein Sonderfall einer Raute mit rechten Winkeln ist.

Der Umfang charakterisiert die Länge einer geschlossenen Silhouette. Wie die Fläche kann sie durch andere im Problemzustand angegebene Größen erfasst werden. Im Schulmathematikunterricht kommt es sehr häufig zu Problemen bei der Ermittlung des Umfangs.

Anweisung

1. Wenn man den Umfang und die Seite der Figur kennt, ist es möglich, ihre andere Seite sowie die Fläche zu finden. Der Umfang selbst wiederum kann je nach Problemstellung anhand mehrerer vorgegebener Seiten oder anhand des Winkels und der Seiten erfasst werden. In einigen Fällen wird es auch durch die Fläche ausgedrückt. Der Umfang eines Rechtecks ​​ist besonders primitiv. Zeichnen Sie ein Rechteck mit einer Seite gleich a und einer Diagonale gleich d. Wenn Sie diese beiden Werte kennen, verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die andere Seite zu ermitteln, nämlich die Breite des Rechtecks. Nachdem Sie die Breite des Rechtecks ​​ermittelt haben, berechnen Sie seinen Umfang auf folgende Weise: p=2(a+b). Diese Formel ist für alle Rechtecke objektiv, da jedes von ihnen vier Seiten hat.

2. Beachten Sie, dass der Umfang eines Dreiecks bei den meisten Problemen gefunden wird, wenn Informationen über eine seiner Ecken vorliegen. Es gibt jedoch auch Probleme, bei denen alle Seiten des Dreiecks bekannt sind und dann der Umfang durch einfache Summation ohne Verwendung trigonometrischer Berechnungen berechnet werden kann: p=a+b+c, wobei a, b und c die sind Seiten. Aber solche Probleme sind in Lehrbüchern selten zu finden, weil die Methode zu ihrer Lösung klar ist. Schwierigere Aufgaben zum Ermitteln des Umfangs eines Dreiecks werden schrittweise gelöst. Nehmen wir an, wir zeichnen ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis und Winkel bekannt sind. Um seinen Umfang zu ermitteln, ermitteln Sie zunächst die Seiten a und b auf folgende Weise: b=c/2cos?. Machen Sie aus der Tatsache, dass a=b (gleichschenkliges Dreieck), eine weitere Zusammenfassung: a=b=c/2cos?.

3. Berechnen Sie den Umfang eines Polygons auf die gleiche Weise, indem Sie die Längen aller seiner Seiten addieren: p=a+b+c+d+e+f und so weiter. Wenn das Polygon positiv ist und in einen Kreis eingeschrieben oder von diesem umschrieben ist, berechnen Sie die Länge einer seiner Seiten und multiplizieren Sie sie dann mit deren Anzahl. Nehmen wir an, um die Seiten eines in einen Kreis eingeschriebenen Sechsecks zu finden, gehen Sie wie folgt vor: a=R, wobei a die Seite des Sechsecks ist, gleich dem Radius des umschriebenen Kreises. Wenn dementsprechend das Sechseck wahr ist, dann ist sein Umfang gleich: p=6a=6R. Wenn der Kreis in ein Sechseck eingeschrieben ist, dann ist die Seite des Sechsecks: a=2r?3/3. Ermitteln Sie dementsprechend den Umfang einer solchen Figur auf folgende Weise: p=12r?3/3.

Obwohl das Wort „Umfang“ von der griechischen Bezeichnung für einen Kreis stammt, ist es üblich, es als die Gesamtlänge der Grenzen einer flachen geometrischen Figur, einschließlich eines Quadrats, zu bezeichnen. Die Berechnung dieses Parameters ist wie üblich nicht schwierig und kann je nach bekannten Ausgangsdaten auf verschiedene Arten durchgeführt werden.

Anweisung

1. Wenn Sie die Länge der Seite des Quadrats (t) kennen, erhöhen Sie diesen Wert zunächst um das Vierfache, um seinen Umfang (p) zu ermitteln: p=4*t.

2. Wenn die Länge der Seite unbekannt ist, die Länge der Diagonale (c) jedoch in den Bedingungen des Problems angegeben ist, reicht dies aus, um die Länge der Seiten und damit den Umfang (p) der Seite zu berechnen Polygon. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, der besagt, dass das Quadrat der Länge der langen Seite eines rechtwinkligen Dreiecks (der Hypotenuse) gleich der Summe der Quadrate der Längen der kurzen Seiten (der Schenkel) ist. In einem rechtwinkligen Dreieck, das aus zwei benachbarten Seiten eines Quadrats und einem Segment besteht, das ihre Endpunkte verbindet, fällt die Hypotenuse mit der Diagonale des Vierecks zusammen. Daraus folgt, dass die Länge der Quadratseite gleich dem Verhältnis der Länge der Diagonale zur Quadratwurzel aus zwei ist. Verwenden Sie diesen Ausdruck in der Formel zur Berechnung des Umfangs aus dem vorherigen Schritt: p=4*c/?2.

3. Wenn nur die Fläche (S) eines durch den Umfang des Quadrats begrenzten Abschnitts der Ebene angegeben wird, reicht dies aus, um die Länge einer Seite zu bestimmen. Da die Fläche eines Rechtecks ​​gleich dem Produkt der Längen seiner angrenzenden Seiten ist, ziehen Sie zur Ermittlung des Umfangs (p) die Quadratwurzel der Fläche und vervierfachen Sie die Summe: p=4*?S.

4. Wenn der Radius des in der Nähe des Quadrats beschriebenen Kreises (R) bekannt ist, multiplizieren Sie ihn mit acht und dividieren Sie das Ergebnis durch die Quadratwurzel von zwei, um den Umfang des Polygons (p) zu ermitteln: p=8*R/? 2.

5. Wenn der Kreis, dessen Radius beibehalten wird, in ein Quadrat eingeschrieben ist, dann berechnen Sie seinen Umfang (p), indem Sie einfach den Radius (r) mit acht multiplizieren: P=8*r.

6. Wenn das unter den Bedingungen des Problems betrachtete Quadrat durch die Koordinaten seiner Eckpunkte beschrieben wird, benötigen Sie zur Berechnung des Umfangs nur Daten zu 2 Eckpunkten, die zu einer der Seiten der Figur gehören. Bestimmen Sie die Länge dieser Seite auf der Grundlage desselben Satzes des Pythagoras für ein Dreieck, das aus sich selbst und seinen Projektionen auf die Koordinatenachsen besteht, und vervierfachen Sie das resultierende Ergebnis. Da die Längen der Projektionen auf den Koordinatenachsen gleich dem Modul der Differenzen zwischen den entsprechenden Koordinaten zweier Punkte (X?; Y? und X?; Y?) sind, kann die Formel wie folgt geschrieben werden: p= 4*? ((X?-X?)? +(Y?-Y?)?).

Im Allgemeinen ist der Umfang die Länge der Linie, die die geschlossene Figur begrenzt. Bei Polygonen ist der Umfang die Summe aller Seitenlängen. Dieser Wert ist messbar und für viele Figuren leicht zu berechnen, wenn die Längen der entsprechenden Elemente bekannt sind.

Du wirst brauchen

• - Lineal oder Maßband;
• - starker Faden;
• - Rollenentfernungsmesser.

Anweisung

1. Um den Umfang eines beliebigen Polygons zu messen, messen Sie alle seine Seiten mit einem Lineal oder einem anderen Messgerät und ermitteln Sie dann deren Summe. Gegeben sei ein Viereck mit Seitenlängen von 5, 3, 7 und 4 cm, die mit einem Lineal gemessen werden. Ermitteln Sie den Umfang, indem Sie sie addieren: P = 5 + 3 + 7 + 4 = 19 cm.

2. Wenn die Figur willkürlich ist und nicht nur gerade Linien enthält, messen Sie ihren Umfang mit einem herkömmlichen Seil oder Faden. Positionieren Sie es dazu so, dass es alle Linien, die die Figur begrenzen, korrekt wiederholt, und markieren Sie es. Wenn möglich, schneiden Sie es primitiv aus, um Verwirrung zu vermeiden. Messen Sie anschließend mit einem Maßband oder Lineal die Länge des Fadens. Sie entspricht dem Umfang dieser Figur. Stellen Sie sicher, dass der Faden die Linie so genau wie möglich wiederholt, um eine höhere Genauigkeit des Ergebnisses zu erzielen.

3. Messen Sie den Umfang einer schwierigen geometrischen Figur mit einem Rollenentfernungsmesser (Krümmungsmesser). Dazu wird auf der Linie ein Punkt markiert, an dem die Entfernungsmesserrolle montiert und entlang dieser gerollt wird, bis sie zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Der vom Rollenentfernungsmesser gemessene Abstand entspricht dem Umfang der Figur.

4. Berechnen Sie den Umfang einiger geometrischer Formen. Um beispielsweise den Umfang eines positiven Polygons (eines konvexen Polygons mit gleichen Seiten) zu ermitteln, multiplizieren Sie die Seitenlänge mit der Anzahl der Winkel oder Seiten (sie sind gleich). Um den Umfang eines echten Dreiecks mit einer Seitenlänge von 4 cm zu ermitteln, multiplizieren Sie diese Zahl mit 3 (P = 4? 3 = 12 cm).

5. Um den Umfang eines beliebigen Dreiecks zu ermitteln, addieren Sie die Längen aller seiner Seiten. Wenn nicht alle Seiten angegeben sind, zwischen ihnen aber Winkel bestehen, ermitteln Sie diese mithilfe des Sinus- oder Kosinussatzes. Wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, ermitteln Sie die dritte Seite mithilfe des Satzes des Pythagoras und ermitteln Sie deren Summe. Sagen wir, wenn bekannt ist, dass die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks 3 und 4 cm lang sind, dann ist die Hypotenuse gleich? (3? + 4?) = 5 cm. Dann ist der Umfang P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

6. Um den Umfang eines Kreises zu ermitteln, ermitteln Sie den Umfang des Kreises, der ihn begrenzt. Multiplizieren Sie dazu seinen Radius r mit der Zahl 3,14 und der Zahl 2 (P=L=2???r). Wenn der Durchmesser bekannt ist, gehen Sie davon aus, dass er zwei Radien entspricht.

Umfang Polygon nennen Sie eine geschlossene gestrichelte Linie, die aus allen ihren Seiten besteht. Das Ermitteln der Länge dieses Parameters reduziert sich auf das Summieren der Seitenlängen. Wenn alle Segmente, die den Umfang einer solchen zweidimensionalen geometrischen Figur bilden, identische Abmessungen haben, heißt das Polygon wahr. In diesem Fall ist die Berechnung des Umfangs viel einfacher.

Anweisung

1. Im einfachsten Fall, wenn wir die Länge der Seite (a) des richtigen kennen Polygon und die Anzahl der darin enthaltenen Eckpunkte (n). Um die Länge des Umfangs (P) zu berechnen, multiplizieren Sie einfach diese beiden Werte: P = a * n. Nehmen wir an, die Umfangslänge eines echten Sechsecks mit einer Seitenlänge von 15 cm sollte 15 * 6 = 90 cm betragen.

2. Berechnen Sie den Umfang davon Polygon entlang des bekannten Radius (R) des umschriebenen Kreises ist ebenfalls zulässig. Dazu müssen Sie zunächst die Länge der Seite durch den Radius und die Anzahl der Scheitelpunkte (n) ausdrücken und dann den resultierenden Wert mit der Anzahl der Seiten multiplizieren. Um die Länge einer Seite zu berechnen, multiplizieren Sie den Radius mit dem Sinus von Pi dividiert durch die Anzahl der Eckpunkte und verdoppeln Sie die Summe: R*sin(?/n)*2. Wenn Sie die trigonometrische Funktion bequemer in Grad berechnen möchten, ersetzen Sie Pi durch 180°: R*sin(180°/n)*2. Berechnen Sie den Umfang, indem Sie den erhaltenen Wert mit der Anzahl der Eckpunkte multiplizieren: Р = R*sin(?/n)*2*n = R*sin(180°/n)*2*n. Nehmen wir an, wenn ein Sechseck in einen Kreis mit einem Radius von 50 cm eingeschrieben ist, hat sein Umfang eine Länge von 50*sin(180°/6)*2*6 = 50*0,5*12 = 300 cm.

3. Mit einer ähnlichen Methode ist es möglich, den Umfang zu berechnen, ohne die Länge der Seite des Positivs zu kennen Polygon, wenn es um einen Kreis mit dem berühmten Radius (r) beschrieben wird. In diesem Fall unterscheidet sich die Formel zur Berechnung der Seitengröße der Figur von der vorherigen nur durch die beteiligte trigonometrische Funktion. Ersetzen Sie in der Formel den Sinus durch den Tangens, um den folgenden Ausdruck zu erhalten: r*tg(?/n)*2. Oder für Berechnungen in Grad: r*tg(180°/n)*2. Um den Umfang zu berechnen, erhöhen Sie den resultierenden Wert um einen Faktor, der der Anzahl der Scheitelpunkte entspricht Polygon: P = r * tg (? / n) * 2 * n = r * tg (180 ° / n) * 2 * n. Nehmen wir an, der Umfang eines Achtecks, das in der Nähe eines Kreises mit einem Radius von 40 cm umschrieben wird, beträgt ungefähr 40*tg(180°/8)*2*8 ? 40 * 0,414 * 16 \u003d 264,96 cm.

Ein Quadrat ist eine geometrische Figur, die aus vier Seiten gleicher Länge und vier rechten Winkeln besteht, die jeweils 90° betragen. Bestimmen Sie entweder den Bereich Umfang Ein Viereck und jedes beliebige ist nicht nur bei der Lösung von Problemen in der Geometrie, sondern auch im Alltag erforderlich. Dieses Wissen kann beispielsweise bei Reparaturen bei der Berechnung der benötigten Materialmenge – Boden-, Wand- oder Deckenbeläge – sowie beim Anlegen von Rasenflächen und Beeten etc. von Nutzen sein.

Anweisung

1. Um die Fläche eines Quadrats zu ermitteln, multiplizieren Sie die Länge mit der Breite. Da bei einem Quadrat Länge und Breite identisch sind, ist der Wert einer Seite recht quadratisch. Somit ist die Fläche eines Quadrats gleich der Länge seiner quadratischen Seite. Die Flächeneinheit kann Quadratmillimeter, Zentimeter, Dezimeter, Meter, Kilometer sein. Um die Fläche eines Quadrats zu bestimmen, können Sie die Formel S = aa verwenden, wobei S die Fläche des Quadrats und die Seite ist des Platzes.

2. Beispiel Nr. 1. Der Raum hat die Form eines Quadrats. Wie viel Laminatboden (in m²) wird benötigt, um den Boden vollständig zu bedecken, wenn die Länge einer Seite des Raums 5 Meter beträgt? Schreiben Sie die Formel auf: S \u003d aa. Ersetzen Sie darin die in der Bedingung angegebenen Daten. Da a = 5 m ist, beträgt die Fläche daher S (Räume) = 5x5 = 25 m², was bedeutet, dass S (Laminat) = 25 m² ist. M.

3. Der Umfang ist die Gesamtlänge des Randes der Figur. Bei einem Quadrat ist der Umfang die Länge aller vier identischen Seiten. Das heißt, der Umfang eines Quadrats ist die Summe aller seiner vier Seiten. Um den Umfang eines Quadrats zu berechnen, reicht es aus, die Länge einer seiner Seiten zu kennen. Der Umfang wird in Millimetern, Zentimetern, Dezimetern, Metern und Kilometern gemessen. Um den Umfang zu bestimmen, gibt es eine Formel: P = a + a + a + a oder P = 4a, wobei P der Umfang ist und der ist Länge der Seite.

4. Beispiel Nr. 2. Für Abschlussarbeiten in einem quadratischen Raum sind Deckensockel erforderlich. Berechnen Sie die Gesamtlänge (Umfang) der Sockelleisten, wenn eine Seite des Raums 6 Meter lang ist. Schreiben Sie die Formel P = 4a auf. Setzen Sie darin die in der Bedingung angegebenen Daten ein: P (Räume) = 4 x 6 = 24 Meter. Folglich beträgt die Länge der Deckensockel ebenfalls 24 Meter.

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Beachten Sie!
Die folgenden Definitionen sind für ein Quadrat objektiv: Ein Quadrat ist ein Rechteck, dessen Seiten einander gleich sind. Ein Quadrat ist eine besondere Art von Raute, bei der alle Winkel 90 Grad betragen. Da es sich um ein positives Viereck handelt, ist es das möglich, einen Kreis um das Quadrat zu beschreiben oder einzuschreiben. Der Radius eines in ein Quadrat eingeschriebenen Kreises kann mit der Formel R = t / 2 ermittelt werden, wobei t die Seite des Quadrats ist. Wenn der Kreis um ihn herum beschrieben wird, ergibt sich sein Radius wie folgt: R = ( ? 2 * t) / 2 Basierend auf diesen Formeln können neue Formeln abgeleitet werden, um den Umfang des Quadrats zu ermitteln: P = 8*R, wobei R der Radius des eingeschriebenen Kreises ist; P = 4*?2*R , wobei R der Radius des umschriebenen Kreises ist. Ein Quadrat ist eine einzigartige geometrische Figur, da es bedingungslos symmetrisch ist, unabhängig davon, wie und wo die Symmetrieachse gezeichnet wird.

Dieses Material enthält geometrische Figuren mit Maßangaben. Die angezeigten Maße sind Näherungswerte und stimmen möglicherweise nicht mit den tatsächlichen Maßen überein. Unterrichtsinhalte

Der Umfang einer geometrischen Figur

Der Umfang einer geometrischen Figur ist die Summe aller ihrer Seiten. Um den Umfang zu berechnen, müssen Sie jede Seite messen und die Ergebnisse der Messungen addieren.

Berechnen Sie den Umfang der folgenden Abbildung:

Das ist ein Rechteck. Wir werden später mehr über diese Zahl sprechen. Berechnen Sie nun einfach den Umfang dieses Rechtecks. Es ist 9 cm lang und 4 cm breit.

Ein Rechteck hat gleiche gegenüberliegende Seiten. Dies ist in der Abbildung sichtbar. Wenn die Länge 9 cm und die Breite 4 cm beträgt, sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils 9 cm und 4 cm groß:

Finden wir den Umfang. Fügen Sie dazu alle Seiten hinzu. Sie können sie in beliebiger Reihenfolge hinzufügen, da sich die Summe durch die Neuanordnung der Positionen der Begriffe nicht ändert. Der Umfang wird oft durch einen lateinischen Großbuchstaben angegeben. P(Englisch) Umfänge). Dann erhalten wir:

P= 9 cm + 4 cm + 9 cm + 4 cm = 26 cm.

Da die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks ​​gleich sind, wird die Bestimmung des Umfangs kürzer geschrieben – addieren Sie die Länge und Breite und multiplizieren Sie sie mit 2, was bedeutet „Länge und Breite zweimal wiederholen“

P= 2 × (9 + 4) = 18 + 8 = 26 cm.

Ein Quadrat ist dasselbe Rechteck, aber alle Seiten sind gleich. Lassen Sie uns zum Beispiel den Umfang eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 5 cm ermitteln. Der Satz „mit Seite 5cm" Ich muss verstehen, wie „Die Länge jeder Seite des Quadrats beträgt 5cm"

Um den Umfang zu berechnen, addieren Sie alle Seiten:

P= 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm

Da jedoch alle Seiten gleich sind, kann die Berechnung des Umfangs als Produkt geschrieben werden. Die Seite des Quadrats beträgt 5 cm, und es gibt 4 solcher Seiten. Dann muss diese Seite, die 5 cm entspricht, viermal wiederholt werden

P= 5 cm × 4 = 20 cm

Geometrischer Bereich

Die Fläche einer geometrischen Figur ist eine Zahl, die die Größe dieser Figur charakterisiert.

Es sollte klargestellt werden, dass es sich in diesem Fall um den Bereich im Flugzeug handelt. In der Geometrie ist eine Ebene jede ebene Fläche, zum Beispiel: ein Blatt Papier, ein Grundstück, eine Tischoberfläche.

Die Fläche wird in Quadrateinheiten gemessen. Quadratische Einheiten sind Quadrate, deren Seiten gleich eins sind. Zum Beispiel 1 Quadratzentimeter, 1 Quadratmeter oder 1 Quadratkilometer.

Die Fläche einer Figur zu messen bedeutet herauszufinden, wie viele Quadrateinheiten in dieser Figur enthalten sind.

Die Fläche des folgenden Rechtecks ​​beträgt beispielsweise drei Quadratzentimeter:

Dies liegt daran, dass dieses Rechteck drei Quadrate enthält, von denen jedes eine Seite von einem Zentimeter hat:

Rechts ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 cm (in diesem Fall handelt es sich um eine quadratische Einheit). Wenn wir uns ansehen, wie oft dieses Quadrat in das links dargestellte Rechteck eintritt, stellen wir fest, dass es dreimal in dieses eintritt.

Das folgende Rechteck hat eine Fläche von sechs Quadratzentimetern:

Dies liegt daran, dass dieses Rechteck sechs Quadrate enthält, von denen jedes eine Seite von einem Zentimeter hat:

Nehmen wir an, Sie müssen die Fläche des folgenden Raums messen:

Lassen Sie uns entscheiden, in welchen Quadraten wir die Fläche messen. In diesem Fall wird die Fläche praktischerweise in Quadratmetern gemessen:

Unsere Aufgabe besteht also darin, zu bestimmen, wie viele solcher Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 m im ursprünglichen Raum enthalten sind. Füllen wir den ganzen Raum mit diesem Quadrat:

Wir sehen, dass ein Quadratmeter zwölfmal in einem Raum enthalten ist. Die Fläche des Raumes beträgt also 12 Quadratmeter.

Rechteckiger Bereich

Im vorherigen Beispiel haben wir die Fläche des Raums berechnet, indem wir nacheinander überprüft haben, wie oft er ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Meter enthält. Die Fläche betrug 12 Quadratmeter.

Der Raum war ein Rechteck. Die Fläche eines Rechtecks ​​kann durch Multiplikation seiner Länge und Breite berechnet werden.

Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu berechnen, müssen Sie dessen Länge und Breite multiplizieren.

Kehren wir zum vorherigen Beispiel zurück. Nehmen wir an, wir haben die Länge des Raumes mit einem Maßband gemessen und es stellte sich heraus, dass die Länge 4 Meter betrug:

Jetzt messen wir die Breite. Lass es 3 Meter sein:

Multiplizieren Sie die Länge (4 m) mit der Breite (3 m).

4 x 3 = 12

Wie beim letzten Mal bekommen wir zwölf Quadratmeter. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass wir durch die Längenmessung herausfinden, wie oft es möglich ist, ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Meter in diese Länge einzufügen. Wir legen vier Quadrate in dieser Länge:

Anschließend ermitteln wir, wie oft diese Länge mit gestapelten Quadraten wiederholt werden kann. Das finden wir heraus, indem wir die Breite des Rechtecks ​​messen:

quadratische Fläche

Ein Quadrat ist dasselbe Rechteck, aber alle Seiten sind gleich. Die folgende Abbildung zeigt beispielsweise ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 3 cm. Der Satz „Quadrat mit Seite 3cm" bedeutet, dass alle Seiten 3 cm groß sind

Die Fläche eines Quadrats wird auf die gleiche Weise berechnet wie die Fläche eines Rechtecks ​​– die Länge wird mit der Breite multipliziert.

Berechnen Sie die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 3 cm. Multiplizieren Sie die Länge von 3 cm mit der Breite von 3 cm

In diesem Fall galt es herauszufinden, wie viele Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm im ursprünglichen Quadrat enthalten sind. Das ursprüngliche Quadrat enthält neun Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm. Tatsächlich ist es so. Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 cm tritt neunmal in das ursprüngliche Quadrat ein:

Durch Multiplizieren der Länge mit der Breite erhalten wir den Ausdruck 3 × 3, und dieser ist das Produkt zweier identischer Faktoren, von denen jeder gleich 3 ist. Mit anderen Worten, der Ausdruck 3 × 3 ist die zweite Potenz der Zahl 3 . Der Prozess der Berechnung der Fläche eines Quadrats kann also als Potenz 3 2 geschrieben werden.

Daher heißt die zweite Potenz einer Zahl das Quadrat einer Zahl. Bei der Berechnung der zweiten Potenz einer Zahl A, eine Person findet dadurch die Fläche eines Quadrats mit einer Seite A. Die Operation, eine Zahl in die zweite Potenz zu erhöhen, heißt quadrieren.

Notation

Das Gebiet wird durch einen lateinischen Großbuchstaben gekennzeichnet S(Englisch) Quadrat- Quadrat). Dann die Fläche eines Quadrats mit einer Seite A cm werden nach folgender Regel berechnet

S = a2

Wo A ist die Seitenlänge des Quadrats. Der zweite Grad gibt an, dass zwei identische Faktoren multipliziert werden, nämlich die Länge und die Breite. Früher wurde gesagt, dass alle Seiten eines Quadrats gleich sind, was bedeutet, dass Länge und Breite des Quadrats gleich sind, ausgedrückt durch den Buchstaben A .

Soll ermittelt werden, wie viele Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm im ursprünglichen Quadrat enthalten sind, so sind als Flächeneinheiten cm 2 anzugeben. Diese Bezeichnung ersetzt die Phrase "Quadratzentimeter" .

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 2 cm.

Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 2 cm hat also eine Fläche von vier Quadratzentimetern:

Soll ermittelt werden, wie viele Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 m im ursprünglichen Quadrat enthalten sind, so sind m 2 als Maßeinheiten anzugeben. Diese Bezeichnung ersetzt die Phrase "Quadratmeter" .

Berechnen Sie die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 3 Metern

Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 3 m hat also eine Fläche von neun Quadratmetern:

Eine ähnliche Notation wird bei der Berechnung der Fläche eines Rechtecks ​​​​verwendet. Allerdings können Länge und Breite des Rechtecks ​​unterschiedlich sein, daher werden sie beispielsweise mit unterschiedlichen Buchstaben bezeichnet A Und B. Dann die Fläche des Rechtecks, Länge A und Breite B berechnet sich nach folgender Regel:

S = a × b

Wie bei einem Quadrat können die Einheiten zur Messung der Fläche eines Rechtecks ​​​​cm 2, m 2, km 2 sein. Diese Bezeichnungen ersetzen die Phrasen „Quadratzentimeter“, „Quadratmeter“, „Quadratkilometer“ bzw.

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche eines Rechtecks ​​mit einer Länge von 6 cm und einer Breite von 3 cm

Ein Rechteck mit einer Länge von 6 cm und einer Breite von 3 cm hat also eine Fläche von achtzehn Quadratzentimetern:

Als Maßeinheit darf die Phrase verwendet werden „quadratische Einheiten“ . Zum Beispiel der Eintrag S = 3 Quadratmeter-Einheit bedeutet, dass die Fläche eines Quadrats oder Rechtecks ​​drei Quadraten entspricht, von denen jedes eine Einheitsseite (1 cm, 1 m oder 1 km) hat.

Umrechnung von Flächeneinheiten

Flächeneinheiten können von einer Maßeinheit in eine andere umgerechnet werden. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1. Drücken Sie 1 Quadratmeter in Quadratzentimetern aus.

1 Quadratmeter ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 m. Das heißt, alle vier Seiten haben eine Länge von einem Meter.

Aber 1 m = 100 cm. Dann haben auch alle vier Seiten eine Länge von 100 cm

Berechnen Sie die neue Fläche dieses Quadrats. Multiplizieren Sie die Länge von 100 cm mit der Breite von 100 cm oder quadrieren Sie die Zahl 100

S \u003d 100 2 \u003d 10.000 cm 2

Es stellt sich heraus, dass es auf einen Quadratmeter zehntausend Quadratzentimeter sind.

1 m 2 \u003d 10.000 cm 2

Dadurch können Sie künftig eine beliebige Quadratmeterzahl mit 10.000 multiplizieren und erhalten die Fläche in Quadratzentimetern ausgedrückt.

Um Quadratmeter in Quadratzentimeter umzurechnen, müssen Sie die Quadratmeterzahl mit 10.000 multiplizieren.

Und um Quadratzentimeter in Quadratmeter umzurechnen, müssen Sie im Gegenteil die Anzahl der Quadratzentimeter durch 10.000 teilen.

Rechnen wir zum Beispiel 100.000 cm 2 in Quadratmeter um. In diesem Fall können Sie so argumentieren: Wenn 10.000 cm2 ist ein Quadratmeter, wie oft 100.000 cm2 wird beinhalten 10.000 cm 2 "

100.000 cm 2: 10.000 cm 2 \u003d 10 m 2

Andere Maßeinheiten können auf die gleiche Weise umgerechnet werden. Rechnen wir zum Beispiel 2 km 2 in Quadratmeter um.

Ein Quadratkilometer ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 km. Das heißt, alle vier Seiten haben eine Länge von einem Kilometer. Aber 1 km = 1000 m. Daher sind auch alle vier Seiten des Quadrats gleich 1000 m. Lassen Sie uns die neue Fläche des Platzes ermitteln, ausgedrückt in Quadratmetern. Multiplizieren Sie dazu die Länge von 1000 m mit der Breite von 1000 m oder quadrieren Sie die Zahl 1000

S \u003d 1000 2 \u003d 1.000.000 m 2

Es stellt sich heraus, dass auf einen Quadratkilometer eine Million Quadratmeter kommen:

1 km 2 \u003d 1.000.000 m 2

Dadurch können Sie in Zukunft eine beliebige Anzahl von Quadratkilometern mit 1.000.000 multiplizieren und erhalten die Fläche in Quadratmetern ausgedrückt.

Um Quadratkilometer in Quadratmeter umzurechnen, müssen Sie die Anzahl der Quadratkilometer mit 1.000.000 multiplizieren.

Also zurück zu unserer Aufgabe. Es war erforderlich, 2 km 2 in Quadratmeter umzurechnen. Multiplizieren Sie 2 km 2 mit 1.000.000

2 km 2 × 1.000.000 \u003d 2.000.000 m 2

Und um Quadratmeter in Quadratkilometer umzurechnen, müssen Sie im Gegenteil die Quadratmeterzahl durch 1.000.000 teilen.

Rechnen wir zum Beispiel 3.500.000 m2 in Quadratkilometer um. In diesem Fall können Sie so argumentieren: Wenn 1.000.000 m2 ist ein Quadratkilometer, wie oft 3.500.000 m2 wird beinhalten 1.000.000 m2 "

3.500.000 m 2: 1.000.000 m 2 \u003d 3,5 km 2

Beispiel 2. Drücken Sie 7 m 2 in Quadratzentimetern aus.

Multiplizieren Sie 7 m 2 mit 10.000

7 m 2 \u003d 7 m 2 × 10.000 \u003d 70.000 cm 2

Beispiel 3. Drücken Sie 5 m 2 13 cm 2 in Quadratzentimetern aus.

5 m 2 13 cm 2 \u003d 5 m 2 × 10.000 + 13 cm 2 \u003d 50.013 cm 2

Beispiel 4. Drücken Sie 550.000 cm2 in Quadratmetern aus.

Lassen Sie uns herausfinden, wie oft 550.000 cm 2 jeweils 10.000 cm 2 enthalten. Dazu teilen wir 550.000 cm 2 durch 10.000 cm 2

550.000 cm 2: 10.000 cm 2 \u003d 55 m 2

Beispiel 5. Drücken Sie 7 km 2 in Quadratmetern aus.

Multiplizieren Sie 7 km 2 mit 1.000.000

7 km 2 × 1.000.000 \u003d 7.000.000 m 2

Beispiel 6. Drücken Sie 8.500.000 m2 in Quadratkilometern aus.

Lassen Sie uns herausfinden, wie oft 8.500.000 m 2 jeweils 1.000.000 m 2 enthalten. Dazu teilen wir 8.500.000 m 2 durch 1.000.000 m 2

8.500.000 m 2 × 1.000.000 m 2 \u003d 8,5 km 2

Maßeinheiten für die Landfläche

Es ist praktisch, die Fläche kleiner Grundstücke in Quadratmetern zu messen.

Die Flächen größerer Grundstücke werden in Ar und Hektar gemessen.

Ar(abgekürzt: A) ist eine Fläche von einhundert Quadratmetern (100 m 2). Aufgrund der häufigen Verteilung einer solchen Fläche (100 m 2) begann man, sie als separate Maßeinheit zu verwenden.

Wenn beispielsweise gesagt wird, dass die Fläche eines Feldes 3 a beträgt, müssen Sie verstehen, dass es sich um drei Quadrate mit einer Fläche von jeweils 100 m 2 handelt, das heißt:

3 a \u003d 100 m 2 × 3 \u003d 300 m 2

unter den Leuten ar rufe oft an Weberei, da ar einem Quadrat mit einer Fläche von ​​100 m 2 entspricht. Beispiele:

1 Webart \u003d 100 m 2

2 Acres \u003d 200 m 2

10 Acres = 1000 m 2

Hektar(abgekürzt: ha) ist eine Fläche von 10.000 m 2. Wenn zum Beispiel gesagt wird, dass die Fläche eines Waldes 20 Hektar beträgt, dann müssen Sie verstehen, dass es sich dabei um zwanzig Quadrate mit jeweils 10.000 m 2 handelt, das heißt:

20 ha \u003d 10.000 m 2 × 20 \u003d 200.000 m 2

Quader und Würfel

Ein Quader ist eine geometrische Figur, die aus Flächen, Kanten und Eckpunkten besteht. Die Abbildung zeigt ein rechteckiges Parallelepiped:

Wird in Gelb angezeigt Facetten quaderförmig, schwarz Rippen, Rot - Gipfel.

Ein rechteckiger Kasten hat eine Länge, Breite und Höhe. Die Abbildung zeigt, wo Länge, Breite und Höhe liegen:

Ein Parallelepiped, dessen Länge, Breite und Höhe gleich sind, heißt. Die Abbildung zeigt einen Würfel:

Das Volumen einer geometrischen Figur

Das Volumen einer geometrischen Figur ist eine Zahl, die die Kapazität dieser Figur charakterisiert.

Das Volumen wird in Kubikeinheiten gemessen. Kubische Einheiten bedeuten Würfel mit einer Länge von 1, einer Breite von 1 und einer Höhe von 1. Beispielsweise 1 Kubikzentimeter oder 1 Kubikmeter.

Das Volumen einer Figur zu messen bedeutet herauszufinden, wie viele Kubikeinheiten in diese Figur passen.

Das Volumen des folgenden Quaders beträgt beispielsweise zwölf Kubikzentimeter:

Denn diese Box enthält zwölf Würfel mit einer Länge von 1 cm, einer Breite von 1 cm und einer Höhe von 1 cm:

Das Volumen wird durch einen lateinischen Großbuchstaben angegeben V. Eine der Maßeinheiten für das Volumen ist der Kubikzentimeter (cm 3 ). Dann die Lautstärke V Das von uns betrachtete Parallelepiped ist 12 cm 3 groß

V\u003d 12 cm 3

Das Volumen eines beliebigen Parallelepipeds wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie seine Länge, Breite und Höhe.

Das Volumen eines Quaders ist gleich dem Produkt aus Länge, Breite und Höhe.

V=abc

Wo, A- Länge, B- Breite, C- Höhe

Im vorherigen Beispiel haben wir also visuell festgestellt, dass das Volumen des Parallelepipeds 12 cm 3 beträgt. Sie können jedoch die Länge, Breite und Höhe einer bestimmten Box messen und die Messergebnisse multiplizieren. Wir werden das gleiche Ergebnis erhalten

Das Volumen wird auf die gleiche Weise wie das Volumen berechnet Quader- Länge, Breite und Höhe multiplizieren.

Berechnen wir zum Beispiel das Volumen eines Würfels mit einer Länge von 3 cm. Ein Würfel hat die gleiche Länge, Breite und Höhe. Wenn die Länge 3 cm beträgt, entsprechen Breite und Höhe des Würfels denselben drei Zentimetern:

Wir multiplizieren Länge, Breite und Höhe und erhalten ein Volumen von siebenundzwanzig Kubikzentimetern:

V= 3 × 3 × 3 = 27 cm³

Tatsächlich enthält der Originalwürfel 27 Würfel mit einer Länge von 1 cm

Bei der Berechnung des Volumens eines bestimmten Würfels haben wir Länge, Breite und Höhe multipliziert. Das Produkt ist 3 × 3 × 3. Dies ist das Produkt von drei Faktoren, von denen jeder gleich 3 ist. Mit anderen Worten, das Produkt 3 × 3 × 3 ist die dritte Potenz von 3 und kann als 3 3 geschrieben werden.

V\u003d 3 3 \u003d 27 cm 3

Daher heißt die dritte Potenz einer Zahl Würfelzahl. Bei der Berechnung der dritten Potenz einer Zahl A, die Person findet dadurch das Volumen des Würfels, die Länge A. Die Operation, eine Zahl in die dritte Potenz zu erhöhen, wird auch als bezeichnet gewürfelt.

Somit berechnet sich das Volumen eines Würfels nach folgender Regel:

V = ein 3

Wo A - Würfellänge.

Kubikdezimeter. Kubikmeter

Nicht alle Objekte unserer Welt werden praktischerweise in Kubikzentimetern gemessen. Bequemer ist es beispielsweise, das Volumen eines Raumes oder Hauses in Kubikmetern (m3) zu messen. Und das Volumen eines Tanks, Aquariums oder Kühlschranks lässt sich bequemer in Kubikdezimetern (dm 3) messen.

Ein anderer Name für einen Kubikdezimeter ist ein Liter.

1 dm 3 = 1 Liter

Umrechnung von Volumeneinheiten

Volumeneinheiten können von einer Maßeinheit in eine andere umgerechnet werden. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1. Drücken Sie 1 Kubikmeter in Kubikzentimeter aus.

Ein Kubikmeter ist ein Würfel mit einer Seitenlänge von 1 m. Länge, Breite und Höhe dieses Würfels entsprechen einem Meter.

Aber 1 m = 100 cm. Länge, Breite und Höhe betragen also ebenfalls 100 cm.

Berechnen Sie das neue Volumen des Würfels, ausgedrückt in Kubikzentimetern. Multiplizieren Sie dazu Länge, Breite und Höhe. Oder erhöhen wir die Zahl 100 auf den Würfel:

V \u003d 100 3 \u003d 1.000.000 cm 3

Es stellt sich heraus, dass ein Kubikmeter eine Million Kubikzentimeter ausmacht:

1 m 3 \u003d 1.000.000 cm 3

Dies ermöglicht es in Zukunft, eine beliebige Anzahl von Kubikmetern mit 1.000.000 zu multiplizieren und das Volumen in Kubikzentimetern auszudrücken.

Um Kubikmeter in Kubikzentimeter umzurechnen, müssen Sie die Anzahl der Kubikmeter mit 1.000.000 multiplizieren.

Und um Kubikzentimeter in Kubikmeter umzurechnen, müssen Sie im Gegenteil die Anzahl der Kubikzentimeter durch 1.000.000 teilen.

Rechnen wir zum Beispiel 300.000.000 cm 3 in Kubikmeter um. In diesem Fall können Sie so argumentieren: Wenn 1.000.000 cm3 ist ein Kubikmeter, wie oft 300.000.000 cm3 wird beinhalten 1.000.000 cm 3 "

300.000.000 cm 3: 1.000.000 cm 3 \u003d 300 m 3

Beispiel 2. Drücken Sie 3 m 3 in Kubikzentimetern aus.

Multiplizieren Sie 3 m 3 mit 1.000.000

3 m 3 × 1.000.000 \u003d 3.000.000 cm 3

Beispiel 3. Drücken Sie 60.000.000 cm3 in Kubikmetern aus.

Lassen Sie uns herausfinden, wie oft 60.000.000 cm 3 jeweils 1.000.000 cm 3 enthalten. Dazu teilen wir 60.000.000 cm 3 durch 1.000.000 cm 3

60.000.000 cm 3: 1.000.000 cm 3 \u003d 60 m 3

Das Fassungsvermögen eines Tanks, einer Dose oder eines Kanisters wird in Litern gemessen. Ein Liter ist auch eine Volumeneinheit. Ein Liter entspricht einem Kubikdezimeter.

1 Liter = 1 dm 3

Wenn beispielsweise das Fassungsvermögen eines Glases 1 Liter beträgt, bedeutet dies, dass das Volumen dieses Glases 1 dm 3 beträgt. Bei der Lösung einiger Probleme kann es nützlich sein, Liter in Kubikdezimeter umrechnen zu können und umgekehrt. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1. Konvertieren Sie 5 Liter in Kubikdezimeter.

Um 5 Liter in Kubikdezimeter umzurechnen, multiplizieren Sie einfach 5 mit 1

5 l × 1 \u003d 5 dm 3

Beispiel 2. Rechne 6000 Liter in Kubikmeter um.

Sechstausend Liter sind sechstausend Kubikdezimeter:

6000 l × 1 = 6000 dm 3

Lassen Sie uns diese 6000 dm 3 nun in Kubikmeter umrechnen.

Länge, Breite und Höhe eines Kubikmeters entsprechen 10 dm

Wenn wir das Volumen dieses Würfels in Dezimetern berechnen, erhalten wir 1000 dm 3

V\u003d 10 3 \u003d 1000 dm 3

Es stellt sich heraus, dass tausend Kubikdezimeter einem Kubikmeter entsprechen. Und um zu bestimmen, wie viele Kubikmeter sechstausend Kubikdezimeter entsprechen, müssen Sie herausfinden, wie oft 6.000 dm 3 1.000 dm 3 enthalten

6.000 dm 3: 1.000 dm 3 \u003d 6 m 3

Also 6000 l = 6 m 3.

Tabelle der Quadrate

Im Leben muss man oft die Flächen verschiedener Quadrate ermitteln. Dazu müssen Sie jedes Mal die ursprüngliche Zahl auf die zweite Potenz erhöhen.

Die Quadrate der ersten 99 natürlichen Zahlen wurden bereits berechnet und in eine spezielle Tabelle namens eingetragen Tabelle der Quadrate.

Die erste Zeile dieser Tabelle (Nummern 0 bis 9) ist die Originalnummer und die erste Spalte (Nummern 1 bis 9) ist die Originalnummer.

Suchen wir zum Beispiel das Quadrat der Zahl 24 in dieser Tabelle. Die Zahl 24 besteht aus den Zahlen 2 und 4. Genauer gesagt besteht die Zahl 24 aus zwei Zehnern und vier Einern.

Wir wählen also die Zahl 2 in der ersten Spalte der Tabelle (Zehnerspalte) und die Zahl 4 in der ersten Zeile (Einerzeile) aus. Wenn wir uns dann rechts von der Zahl 2 und von der Zahl 4 nach unten bewegen, finden wir den Schnittpunkt. Als Ergebnis befinden wir uns an der Stelle, an der sich die Zahl 576 befindet. Das Quadrat der Zahl 24 ist also die Zahl 576

24 2 = 576

Würfeltisch

Wie bei den Quadraten sind auch hier die Kuben der ersten 99 natürlichen Zahlen bereits berechnet und in eine Tabelle namens eingetragen Würfeltisch.

Berechnen Sie das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds mit einer Länge von 6 cm, einer Breite von 4 cm und einer Höhe von 3 cm.

Lösung

Die Zahl 4 gibt die mit Weizen gesäte Fläche wieder. Und die Zahl 5 spiegelt die mit Flachs gesäte Fläche wider.
Es wird gesagt, dass die mit Weizen und Flachs gesäten Flächen proportional zu diesen Zahlen sind.

Einfach ausgedrückt: Wie oft ändern sich die Zahlen 4 oder 5, wie oft ändert sich die mit Weizen oder Flachs besäte Fläche. 15 Hektar wurden mit Flachs besät. Das heißt, die Zahl 5, die die mit Flachs gesäte Fläche angibt, hat sich dreimal geändert.

Dann muss die Zahl 4, die die mit Weizen gesäte Fläche widerspiegelt, verdreifacht werden

4 × 3 = 12 ha

Antworten: 12 Hektar wurden mit Weizen gesät.

Aufgabe 8. Die Länge des Getreidespeichers beträgt 42 m, die Breite entspricht der Länge und die Höhe beträgt 0,1 Länge. Bestimmen Sie, wie viele Tonnen Getreide der Getreidespeicher fasst, wenn 1 m 3 davon 740 kg wiegt.

Lösung

Bestimmen wir, wie viele Liter pro Minute durch das zweite Rohr gegossen werden:

25 l/min × 0,75 = 18,75 l/min

Bestimmen wir, wie viele Liter pro Minute durch beide Rohre in den Pool geschüttet werden:

25 l/min + 18,75 l/min = 43,75 l/min

Bestimmen Sie, wie viele Liter Wasser in 13 Stunden und 32 Minuten in den Pool gegossen werden

43,75 x 13 Std. 32 Min. = 43,75 x 812 Min. = 35.525 l

1 l \u003d 1 dm 3

35 525 l \u003d 35 525 dm 3

Konvertieren Sie Kubikdezimeter in Kubikmeter. Dadurch wird das Volumen des Pools berechnet:

35.525 dm 3: 1000 dm 3 \u003d 35,525 m 3

Wenn Sie das Volumen des Beckens kennen, können Sie die Höhe des Beckens berechnen. Setzen Sie es in die wörtliche Gleichung ein V=abc die Werte, die wir haben. Dann erhalten wir:

V = 35,525
A = 5.8
B = 3.5
C= X

35,525 = 5,8 x 3,5 x X
35,525 = 20,3× X
X= 1,75 m

c = 1,75

Antworten: Die Höhe (Tiefe) des Beckens beträgt 1,75 m.

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