Najdete ga lahko tako, da poznate osnovo in višino. Celotna preprostost sheme je v tem, da višina deli osnovo a na dva dela a 1 in a 2, sam trikotnik pa na dva pravokotna trikotnika, katerih območje dobimo in. Potem bo površina celotnega trikotnika vsota obeh navedenih območij, in če vzamemo polovico višine iz oklepaja, potem skupaj dobimo nazaj osnovo:

Težja metoda za izračun je Heronova formula, za katero morate poznati vse tri strani. Za to formulo morate najprej izračunati polobod trikotnika: Sama Heronova formula implicira kvadratni koren polobodnega obsega, pomnoženega z njegovo razliko na vsaki strani.

Naslednja metoda, ki je pomembna tudi za kateri koli trikotnik, vam omogoča, da najdete površino trikotnika skozi dve strani in kot med njima. Dokaz za to izhaja iz formule z višino - višino potegnemo na poljubno znano stran in skozi sinus kota α dobimo, da je h=a⋅sinα . Za izračun površine pomnožite polovico višine z drugo stranjo.

Drug način je najti površino trikotnika glede na 2 kota in stranico med njima. Dokaz te formule je precej preprost in je jasno razviden iz diagrama.

Višino z vrha tretjega vogala spustimo na znano stran in nastale segmente imenujemo x. Iz pravokotnih trikotnikov je razvidno, da je prvi segment x enak zmnožku

Povzetek lekcije

Zadeva: "Heronova formula in druge formule za površino trikotnika".

Vrsta lekcije : učna ura odkrivanja novih znanj.

Razred: 10.

Cilji lekcije: med poukom zagotovite zavestno ponavljanje formul za izračun površine trikotnika, ki se preučujejo v šolskem kurikulumu. Pokažite potrebo po poznavanju Heronove formule II, formule za območje trikotnika, podanega v pravokotnem koordinatnem sistemu. Zagotovite zavestno asimilacijo in uporabo teh formul pri reševanju problemov.

Naloge:

V razvoju: razvoj logičnega mišljenja, sposobnost samostojnega reševanja izobraževalnih problemov; razvoj radovednostiučenci, kognitivni interes za predmet; razvoj ustvarjalnega mišljenja, matematičnega govora učencev;

Izobraževalni: spodbujanje zanimanja za matematiko; ustvarjanje pogojev zaoblikovanje komunikacijskih veščin in voljnih lastnosti osebe.

Izobraževalni: poglabljanje znanjath modul realnega števila; učijo sposobnosti reševanja tipičnih problemov.

Univerzalne učne dejavnosti:

Osebno: spoštovanje posameznika in njegovega dostojanstva; trajnostni kognitivni interes; sposobnost vodenja dialoga na podlagi enakopravnih odnosov in medsebojnega spoštovanja.

Regulativno: določiti cilje za dejavnosti v lekciji; načrtovati načine za dosego cilja; sprejemati odločitve v problemski situaciji na podlagi pogajanj.

Kognitivni: V spoznati splošne metode reševanja problemov, izvajanja nalog in računanja; izvajajo naloge, ki temeljijo na uporabi lastnosti modula realnega števila.

Komunikativen: A ustrezno uporabljajo govor za načrtovanje in urejanje svojih dejavnosti; oblikovati svoje mnenje.

Tehnična podpora Oprema: računalnik, projektor, interaktivna tabla.

Struktura lekcije

Motivacijski oder - 2 min.

Domača naloga - 1 min.

Stopnja obnavljanja znanja o predlagani temi in izvedba prve poskusne akcije - 10 minut.

Identifikacija težavnosti: kakšna je zahtevnost nove snovi, kaj točno ustvarja težavo, iskanje protislovja - 4 min.

Razvoj projekta, načrt za premagovanje njihovih težav, premislek o številnih možnostih, iskanje optimalne rešitve - 2 min.

Izvedba izbranega načrta za rešitev težave - 5 min.

Primarno utrjevanje novega znanja - 10 min.

Samostojno delo in preverjanje po standardu - 5 min.

Refleksija vključuje refleksijo učne dejavnosti, in introspekcija ter refleksija občutkov in čustev - 1 min.

Med poukom.

motivacijsko stopnjo.

Pozdravljeni fantje, usedite se. Danes bo naša lekcija potekala po naslednjem načrtu: med lekcijo bomo preučevali novo temo: " Heronova formula in druge formule za območje trikotnika »; ponovite tiste formule, ki jih poznate; Naučimo se uporabiti te formule za reševanje problemov. Torej, pojdimo na delo.

Faza obnavljanja znanja o predlagani temi in izvedba prve poskusne akcije.

diapozitiv 1.

Zapišite temo lekcije. Preden nadaljujemo neposredno s formulami, se spomnimo, katere formule za izračun površine trikotnika poznate?

Diapozitiv 2.

Napišite te formule.

Katere formule za izračun površine trikotnika poznate?(učenci se spomnijo vseh formul, ki so jih preučevali)

Diapozitiv 3.

Območje pravokotnega trikotnika. S=ab. Zapiši formulo

diapozitiv 4.

Območje katerega koli trikotnika. S= A . a = , = Zapiši formulo.

Diapozitiv 5. Območje trikotnika na dveh straneh in kot med njima.

S=½ ab sinα. Zapiši formulo.

In zdaj se bomo naučili nove formule za iskanje območja.

diapozitiv 6.

Območje trikotnika glede na polmer včrtanega kroga. S= P r. Zapiši formulo.

Diapozitiv 7.

Območje trikotnika glede na R-polmer opisanega kroga.

Zapiši formulo.

diapozitiv 8.

Heronova formula.

Preden nadaljujemo z dokazom, se spomnimo dveh izrekov geometrije - to je sinusni izrek in kosinusni izrek.

1., a=2R; b=2R; c=2R

2. cosγ = .

diapozitiv 9-10

Dokaz Heronove formule. Zapiši formulo.

Diapozitiv 11.

Formulo za površino trikotnika na treh straneh je odkril Arhimed v 3. stoletju pr. Vendar ustrezno delo ni doseglo naših dni. Ta formula je vsebovana v "Metriki" Herona iz Aleksandrije (I v AD) in je po njem poimenovana. Herona so zanimali trikotniki s celimi stranicami, katerih ploščine so tudi cele. Takšni trikotniki se imenujejo Heronovi trikotniki. Najenostavnejši Heronov trikotnik je egipčanski trikotnik.

Identifikacija težav: kakšna je zahtevnost nove snovi, kaj točno ustvarja problem, iskanje protislovja.

diapozitiv 12.

Poiščite ploščino trikotnika z danimi stranicami: 4,6,8. Ali je dovolj informacij za rešitev problema? Katero formulo lahko uporabimo za rešitev tega problema?

Razvoj projekta, načrt za izhod iz težav, premislek o številnih možnostih, iskanje optimalne rešitve.

Ta problem je mogoče rešiti s Heronovo formulo. Najprej morate najti polobod trikotnika in nato dobljene vrednosti nadomestiti s formulo.

Izvedba izbranega načrta za rešitev težave.

Iskanje str

str=(13+14+15)/2=21

str- a=21-13=8

p-b=21-14=7

p-c=21-15=6

S = 21*8*7*6=84

Odgovori :84

Naloga št. 2

Poišči stranice trikotnikaABCče je območje trikotnikovABO, BCO, ACO, kjer je O središče včrtanega kroga, so enake 17.65.80 dc 2 .

rešitev:

S\u003d 17 + 65 + 80 \u003d 162 - seštejte površine trikotnikov. Po formuli

S ABO =1/2 AB* r, torej 17=1/2AB* r; 65=1/2BC* r; 80=1/2 AC* r

34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC

Poiščite str

str= (34+130+160)/2=162/ r

(r-a)=162-34=128 (r- c)=162-160=2

(R- b)=162-130=32

Po Heronovi formuliS=  128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2

Ker S= 162, torejr =  1152/162=3128/18

odgovor: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.

Primarno utrjevanje novega znanja.

№10(1)

Poiščite ploščino trikotnika z danimi stranicami:

№12

Samostojno delo in preverjanje po standardu.

№10.(2)

Domača naloga . Str.83, št. 10(3), št. 15

Refleksija, ki vključuje tako refleksijo izobraževalne dejavnosti kot introspekcijo ter refleksijo občutkov in čustev.

Katere formule ste danes ponovili?

Katere formule ste se ravno danes naučili?

Izrek. Ploščina trikotnika je enaka polovici zmnožka njegove stranice in nanj narisane višine:

Dokaz je zelo preprost. Ta trikotnik ABC(slika 1.15) bomo dokončali paralelogram ABDC. trikotniki ABC in DCB sta na treh straneh enaki, zato sta njuni ploščini enaki. Torej območje trikotnika ABC enaka polovici površine paralelograma ABDC, tj.

Tu pa se pojavi naslednje vprašanje: zakaj so trije možni polprodukti osnove in višine za katerikoli trikotnik enaki? To pa je enostavno dokazati iz podobnosti pravokotnikov s skupnim ostrim kotom. Razmislite o trikotniku ABC(Slika 1.16):

In zato

Vendar tega v šolskih učbenikih ni. Nasprotno, enakost treh polproizvodov je ugotovljena na podlagi dejstva, da vsi ti polprodukti izražajo ploščino trikotnika. Tako je obstoj ene same funkcije implicitno izkoriščen. Toda tukaj je priročna in poučna priložnost za prikaz primera matematičnega modeliranja. Za pojmi ploščine res obstaja fizična realnost, vendar neposredno preverjanje enakosti treh polproizvodov pokaže kakovostni faktor prevoda tega pojma v jezik matematike.

Z zgornjim izrekom o površini trikotnika je zelo pogosto primerno primerjati ploščini dveh trikotnikov. Spodaj predstavljamo nekaj očitnih, a pomembnih posledic izreka.

Posledica 1. Če vrh trikotnika premaknemo vzdolž ravne črte, vzporedne z njegovo osnovo, se njegova površina ne spremeni.

Na sl. 1,17 trikotniki ABC in ABD imajo skupno podlago AB in enake višine, spuščene na to osnovo, saj ravna črta A, ki vsebuje vozlišča Z in D vzporedno z osnovo AB, zato sta ploščini teh trikotnikov enaki.

Posledico 1 je mogoče preoblikovati na naslednji način.

Posledica 1?. Naj bo podan segment AB. Veliko točk M tako, da je površina trikotnika AMV enaka dani vrednosti S, obstajata dve črti, ki sta vzporedni z segmentom AB in se nahaja na razdalji od njega (slika 1. 18)

Posledica 2. Če se ena od stranic trikotnika, ki meji na dani kot, poveča za k krat, potem se bo tudi njegova površina povečala za k enkrat.

Na sl. 1,19 trikotniki ABC in ABD imajo skupno višino BH, zato je razmerje njunih ploščin enako razmerju baz

Pomembni posebni primeri izhajajo iz posledice 2:

1. Mediana deli trikotnik na dva enaka dela.

2. Simetrala kota trikotnika, ki je zaprt med njegovimi stranicami A in b, ga razdeli na dva trikotnika, katerih območja so povezana kot a : b.

Posledica 3. Če imata dva trikotnika skupni kot, sta njuni ploščini povezani kot zmnožki stranic, ki vsebujeta ta kot.

To izhaja iz dejstva, da (slika 1.19)

Predvsem velja naslednja trditev:

Če sta si dva trikotnika podobna in je stranica enega od njiju k krat ustrezne strani drugega, potem je njegova površina k 2-kratna površina drugega.

Heronovo formulo za ploščino trikotnika izpeljemo na naslednja dva načina. V prvem uporabimo kosinusni izrek:

kjer so a, b, c dolžine stranic trikotnika, r je kot nasproti stranice c.

Iz (1.3) najdemo.

Opaziti to

kjer je polobod trikotnika, dobimo.

Predhodne informacije

Za začetek uvajamo informacije in zapise, ki bodo potrebni v nadaljevanju.

Obravnavali bomo trikotnik $ABC$ z ostrima kotoma $A$ in $C$. Vanj nariši višino $BH$. Vstavimo naslednji zapis: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (slika 1).

Slika 1.

Brez dokaza uvedemo izrek o ploščini trikotnika.

1. izrek

Območje trikotnika je definirano kot polovica produkta dolžine njegove stranice in nanj narisane višine, tj.

Heronova formula

Predstavimo in dokažemo izrek o iskanju ploščine trikotnika glede na tri znane stranice. Ta formula se imenuje Heronove formule.

2. izrek

Naj imamo dane tri stranice trikotnika $a,\ b\ in\ c$. Nato je območje tega trikotnika izraženo na naslednji način

kjer je $p$ polobseg danega trikotnika.

Dokaz.

Uporabili bomo zapis, predstavljen na sliki 1.

Razmislite o trikotniku $ABH$. Po Pitagorovem izreku dobimo

Očitno je $HC=AC-AH=b-x$

Razmislite o trikotniku $\CBH$. Po Pitagorovem izreku dobimo

\ \ \

Iz obeh dobljenih relacij izenačite vrednosti kvadrata višine

\ \ \

Iz prve enačbe najdemo višino

\ \ \ \ \ \

Ker je polobod enak $p=\frac(a+b+c)(2)$, tj. $a+b+c=2p$, potem

\ \ \ \

Po izreku 1 dobimo

Izrek je dokazan.

Primeri nalog za uporabo Heronove formule

Primer 1

Poiščite ploščino trikotnika, če so njegove strani $3$ cm, $6$ cm in $7$ cm.

rešitev.

Najprej poiščimo polobod tega trikotnika

Po izreku 2 dobimo

odgovor:$4\sqrt(5)$.

Ta formula vam omogoča izračun površine trikotnika vzdolž njegovih strani a, b in c:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-s),kjer je p polobod trikotnika, tj. p = (a + b + c)/2.
Formula je poimenovana po starogrškem matematiku Heronu iz Aleksandrije (okoli 1. stoletja). Heron je obravnaval trikotnike s celimi stranicami, katerih površine so prav tako cela števila. Takšni trikotniki se imenujejo heronski. Na primer, to so trikotniki s stranicami 13, 14, 15 ali 51, 52, 53.

Obstajajo analogi Heronove formule za štirikotnike. Ker ima problem konstruiranja štirikotnika vzdolž njegovih stranic a, b, c in d več kot eno rešitev, v splošnem primeru površina štirikotnika ni dovolj za poznavanje dolžin stranic. Vnesti morate dodatne parametre ali uvesti omejitve. Na primer, območje vpisanega štirikotnika najdemo s formulo: S \u003d √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)

Če je štirikotnik hkrati včrtovan in obrobljen, je njegova ploščina enaka po enostavnejši formuli: S=√(abcd).

Heron iz Aleksandrije - grški matematik in mehanik.

Prvi je izumil avtomatska vrata, avtomatsko lutkovno gledališče, avtomat, hitrostrelni samonakladalni samostrel, parno turbino, avtomatske kulise, napravo za merjenje dolžine cest (starodavni odometer) itd. Bil je prvi, ki je ustvaril programabilne naprave (gred z zatiči, okoli katere je navita vrv).

Študiral je geometrijo, mehaniko, hidrostatiko, optiko. Glavna dela: metrika, pnevmatika, avtotopoetika, mehanika (delo je v celoti ohranjeno v arabskem prevodu), katoptrika (veda o zrcalih; ohranjena je samo v latinskem prevodu) itd. pravokotne koordinate. Heron je uporabil dosežke svojih predhodnikov: Evklida, Arhimeda, Stratona iz Lampsaka. Veliko njegovih knjig je nepovratno izgubljenih (zvitki so bili shranjeni v Aleksandrijski knjižnici).

V razpravi "Mehanika" je Heron opisal pet vrst najpreprostejših strojev: vzvod, vrata, klin, vijak in blok.

V razpravi "Pnevmatika" je Heron opisal različne sifone, domiselno urejene posode, avtomate, ki jih poganja stisnjen zrak ali para. To je eolipil, ki je bila prva parna turbina - krogla, ki jo vrti moč curkov vodne pare; odpirač vrat, avtomat za sveto vodo, gasilska črpalka, vodne orgle, mehansko lutkovno gledališče.

V knjigi "O dioptriji" je opisana dioptrija - najpreprostejši pripomoček za geodetska dela. Geron v svoji razpravi podaja pravila merjenja zemljišč, ki temeljijo na uporabi pravokotnih koordinat.

V "Katoptriku" Heron utemeljuje naravnost svetlobnih žarkov z neskončno visoko hitrostjo njihovega širjenja. Heron obravnava različne vrste ogledal, pri čemer posebno pozornost namenja cilindričnim ogledalom.

Heronova "Metrika" ter "Geometrija" in "Stereometrija", izvlečena iz nje, so referenčne knjige o uporabni matematiki. Med informacijami, vsebovanimi v informacijah "Metrika", so:

Formule za ploščine pravilnih mnogokotnikov.


Prostornine pravilnih poliedrov, piramide, stožca, prisekanega stožca, torusa, sferičnega segmenta.


Heronova formula za izračun površine trikotnika iz dolžin njegovih stranic (odkril jo je Arhimed).


Pravila za numerično reševanje kvadratnih enačb.


Algoritmi za pridobivanje kvadratnih in kubičnih korenov.

Heronova knjiga "Definicije" je obsežna zbirka geometrijskih definicij, ki večinoma sovpadajo z definicijami Evklidovih "Elementov".